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supposons que. dans un domaine cO de variation de leurs arguments, 

 F ou /soient, par rapport à l'ensemble (x, y, z, p, q), ou de classe a en a; 

 et continues en y, ou de classe [3 en v et continues en x, ou de classe a en a; 

 et (3 en y, mais dans tous les cas de classe y en (z, p, q) : toute solution 

 régulière appartenant au domaine cô sera de même nature que F ou f par 

 rapport à x et y (toujours avec les mêmes hypothèses sur a et ($). 

 Ces résultats s'étendent aux équations de type plus général : 



(EO V'x,y,z,p,q, r,s,t) = o (4 F',F; - F; 2 > o), 



(P 2 ) r=/(a;,y T y,p,q) 'f' q > o ou /; < o). 



Cependant l'élude des solutions au point de vue de leur classe par rapport 

 à une seule variable supposera quelques hypothèses très simples sur la nature 

 de F,'., F,', F,' ou/' par rapport à l'autre. Mais, si nous envisageons 

 l'ensemble des variables (x,y), nous pouvons énoncer le résultat suivant : 

 Si, dans un domaine CD, F ouf sont déclasse xen x, fteny, y en (z,p, q, r, s, t), 

 toute solution régulière appartenant à o3 sera de même nature. 



Tous ces résultats se démontrent par la méthode des contours successifs, basée 

 sur l'allure des dérivées au bord, que j'ai déjà utilisée pour l'équation (P) (loc. cit., 

 p. 410 et t 11 ' permet également de traiter des problèmes de prolongement variés et 

 d'étudier les cas où la clause de la solution peut s'abaisser : ainsi, lorsqu'on a i 5(3 < 2, 

 les théorèmes énoncés plus haut, pour les équations (P), (Pi) et (P2) subsistent 

 à l'intérieur d'un rectangle ayant ses côtés AB, CD parallèles à O/, pour toute 

 solution régulière c appartenant à Ut) et se réduisant sur AB, CD à deux fonctions 

 de classe (3 : z est même prolongeable au delà de AB et CD. 



Les propriétés énoncées s'étendent au cas de /; variables. 



ANALYSE MATHK.viA.'1'iQUr:. — Sur le problème de Dirichlet, dans un cylimlre 

 indéfini. Note de M. G. Iîoumga.xd, présentée par M. J. Hadamard. 



Donnons-nous l'équation aux dérivées partielles 



O 2 11 à 2 11 d 1 11 

 ax 2 Oy 1 iJ:- 



et un cylindre à section droite fermée : nous prendrons l'axe Oz parallèle 

 aux génératrices, le plan xOy étant le plan d'une section droite I : soit* 

 l'arc de cette section droite comptée à partir d'une origine arbitraire. 



Soit alors H(s, z) une distribution donnée sur le cylindre, nous supposons 

 que H tende uniformément vers zéro, ainsi que ses dérivées premières 



