SÉANCE DL' 8 DÉCEMBRE igi3. 1125 



lorsque z croît indéfiniment (dans les deux sens) et en outre que l'intégrale 

 de H(j, z) converge absolument et uniformément entre — oc et -+- oc. 

 Le problème de Dirichlet s'énoncera ainsi : 



Trouver une solution de (i) continue ainsi que ses dérivées des deux premiers 

 ordres en tout point intérieur au cylindre, régulière à Vinjini (c'est-à-dire 

 tendant vers zéro ainsi que ses dérivées premières), et enfin prenant sur le 

 cylindre les valeurs H(.ç, z). 



Je me propose de démontrer ici les différences profondes qui existent 

 entre ce problème et le problème de Dirichlet classique, posé pour la même 

 équation (j'entends celui pour lequel les données sont portées par une surface 

 limitée en tous sens); dans ce dernier cas, on sait que si ij. n'est pas une des 

 valeurs dites caractéristiques, le problème a une solution et une seule : au 

 contraire, si u. est caractéristique, il est impossible ou indéterminé. 



Tout d'abord, le problème de Dirichlet, pour un cylindre, n'admettra 

 jamais plus d'une solution, ce qui revient à dire : il n'existe pas de fonctions 

 fondamentales, en appelant ainsi des solutions de (i) s'annulant sur le 

 cylindre et régulières à l'infini. 



Pour le montrer, admettons l'existence d'une telle solution, correspondant 

 à la valeur u de tx. Dans une section droite quelconque I> z (de cote z), 

 cette fonction, considérée comme dépendant seulement de deux variables x 

 et y, est développable au moyen des fonctions fondamentales de la section 

 droite en une série absolument et uniformément convergente; considérons 

 le système de ces fonctions ( ' ) 



que nous supposerons ramené à la forme normale. Nous désignerons 

 par — ol'I la valeur caractéristique qui correspond à cp /( (/;?). La fonction 

 fondamentale du cylindre aurait une expression de la forme ^c k (z)^ k {m), 

 et le coefficient c k devrait être une solution de l'équation différentielle 



(2) 4 — { i L + al)c k =o\ 



la condition de régularité à l'infini exige qu'on ait c A = 0, etle théorème est 

 démontré. 



Il n'y aura donc jamais plus d'une solution : en ce qui concerne l'existence 

 effective d'une telle solution, il importe de distinguer deux cas : 



(') m représente un point de la section droite i , projection orthogonale du point M 

 du cylindre. 



