II 26 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



i° u -i- a 2 >• o : il suffit au plus d'ajouter aux conditions que nous avons 

 déjà imposées à H (s, z) des restrictions qui sont seulement des conditions 

 de régularité pour être assuré de l'existence de la solution; 



2° u. 2 -+- a 2 <o : il n'existe pas, en général, de solution. On peut, en effet, 

 démontrer le théorème suivant : 



Soit F (M ) une solution de (i), régulière à l'infini, et supposons que les iné- 

 galités 



[j. -t- ol\ < o, fjt -+- a\ < o, . . . , ;* + a* < o et \j. ■+■ /xj, + [ > o 

 soient vérifiées au sens strict. On a les ip relations 



(3) 



( Ç ÇV( M ) ^ cos (\J— fi - a, 2 s) rfS M = o, 



| rrF(M)^'sin(v/-(*-«?=)rfs»=o 



(l=I, 2. ..., />), 



où les intégrales doubles sont étendues à la surface du cylindre. 



Si donc l'une des intégrales obtenues en remplaçant dans ces inégalités 

 F (M) par la distribution donnée H (s, z) est différente de zéro, le pro- 

 blème est impossible. 



Par contre, si H (s, z) satisfait aux -ip conditions (3), il suffit de faire 

 sur celte fonction des hypothèses qui sont seulement certaines conditions de 

 régularité pour assurer l'existence d'une solution. 



Lorsque u. est égal à une constante caractéristique de la section droite, le 

 nombre de ces conditions se réduit : en effet, si h estl'ordre de multiplicité 

 de cette constante, nos h dernières conditions sont satisfaites d'elles-mêmes : 

 soit donc p l'indice le plus élevé sous lequel figure la constante considérée; 

 nous aurons <xp — h conditions. 



Ces considérations nous conduisent à un exemple d'équation intégrale 

 singulière. Considérons la fonction harmonique H (M), régulière à l'infini 

 et prenant sur le cylindre les valeurs H (s, z). On déduit aisément de la for- 

 mule de Green, que si le problème de Dirichlet, relatif à l'équation (i), 

 admet une solution F(M), pour la distribution H($,.-s), cette fonction F 

 vérifiera l'équation 



(4) F(M) + 7 ^ ff |f(P)G(M, P)rf Up = H(M), 



où G(M,P) est la fonction de Green ordinaire du cylindre indéfini : l'inté- 

 grale est étendue à tout le cylindre. Nous avons donc ici une circonstance 



