SÉAfvee DU 8 DÉCEMBRE IO,l3. 



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MÉCANIQUE ANALYTIQUE. — Sur les transformations canoniques spéciales. 

 Note de M. A. Bilimovitch, présentée par M. Appell. 



Si le système des équations différentielles dans la forme canonique 

 dpi _ àH dq t dH ,.•_., n) 



où H = fonct. ((/[,Ph après le changement des variables déterminées par 

 les relations (i) F r (q h p h Q t ,P h l,T) = o(r = i, a, . ..,an + i) reçoit de 

 nouveau la forme canonique 



dPt 



d'Y 



dK 



oq,' 



rfQ,- 



dT 



dK 



où K = fonct. (Q,-, P,,T), la transformation correspondante s'appelle, 

 comme on sait, canonique. 



Il est à distinguer deux sortes de transformations canoniques: les pre- 

 mières, que nous appellerons générales, sont applicables à un système cano- 

 nique quelconque; plusieurs géomètres s'en sont occupés, et S. Lie a 

 démontré qu'elles coïncident avec les transformations de contact. Les 

 transformations de la seconde sorte seront celles qui restent canoniques, 

 généralement parlant, seulement pour le système donné et pour la fonc- 

 tion H déterminée. Appelons-les transformations canoniques spéciales du 

 système donné; leur étude fera l'objet de cette Note. 



Dans ce qui suit, bornons-nous au cas où la fonction H ainsi que les for- 

 mules de transformation ne dépendent pas de la variable t; le cas général 

 se ramène au cas considéré en augmentant de deux unités le nombre des 

 équations du système canonique. 



Les conditions à vérifier pour que la transformation soit canonique peu- 

 vent être écrites sous la forme suivante : 



V 



/ = ' 



n 



V 



(9t,9j)àj}+U*Pj)-â p -J 



àU 



m 



dpi 



(« = I, 2, . . ., Il), 



où K* est la fonction du système canonique nouveau, exprimée au moyen 



