II 34 ACADÉMIE DES SCIENCES, 



des variables anciennes q h p t et où les symboles 



y / àti, du, du, du, 



e=l 



signifient les parenthèses de Poisson. Si dans ces égalités nous exprimons 

 toutes les parenthèses de Poisson à l'aide de celles de Lagrange, en pro- 

 fitant de la relation 



V^ ( O si 



> (u„ u s )[u,,u a ] = 



•*" ( I SI 



S p6(J, 



s =; er, 



où au lieu de u seront mises respectivement y,,/>,, on obtient alors les équa- 

 tions pour la détermination des fonctions Q,, P ( , K*. Exemple : si 

 H = e s ''. +1 /v-' ? 1 ^ (e p < + ' 2 '!' -h i), on arrive par la transformation 



P, ^=eP< + i'^'>' + i!, Pi — ePy + -i'i + 'i< + ii, Q l = e s P> +3 ''2 +ii '}--''', Q 2 = e i P< +i Pi + '"i~ 2 ''< 



à un nouveau système canonique, où 2K = P*Q* + P^Qj- 



Pour classiiier les transformations canoniques spéciales on peut, en 

 rejetant le cas de la transformation ponctuelle, présenter les relations (1) 

 sous la forme /',== fonct. (q h Q,), P,= fonct. (q h Q, ■), alors l'expression 



n 



V (pjdqj — P, rfQ,), comme l'expression de Pfafl' à in variables </,, /;, 

 peut se présenter sous l'une des deux formes normales suivantes : 



m — 1 m 



d\N -+- V A s dB s , Y A , dB s , 



s = 1 .-• = 1 



où le nombre iin — 1 dans le premier cas et 2/// dans le second (m<«) 

 déterminentla classe de l'expression de Pfaff. La transformation canonique 

 générale est donc la transformation de la première classe ; la transformation 

 linéaire, par exemple 



p l = o,P l -i-a,O l . q i = 6,F, -+- b. 2 Qi (a, />.,— ^«,^0), 

 où 



2 H = A/>7 + ïV'Pi q t + Cy;, 



se présente comme la transformation de la seconde classe. La transformation 

 de l'exemple susdit est de la quatrième classe. Remarquons que la recherche 

 de la transformation de la classe impaire se ramène à la recherche de 



