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corps par des séries dont les termes soient des fonctions d'une variable t, 

 ces séries étant convergentes pour ~ compris entre — i et -t- i; admettons, 

 d'autre part, que le temps / puisse s'exprimer en fonction de t par une 

 série convergente également cuire — i el -+- i | soi L /= f(i)\, et cela de 

 telle manière que t allant en croissant de — i à -f- i, la fonction f(i) 

 varie également toujours dans le même sens en allant de — ce à + oc. 

 On suppose, bien entendu, que les différents termes des séries envisagées 

 peuvent être obtenus de proche en proche par un calcul régulier, quand 

 les conditions initiales sont données. Avec ces divers développements, le 

 problème doit être regardé comme résolu rigoureusement, car à une 

 valeur de / correspond manifestement une et une seule valeur de t, ce qui 

 permet de calculer les coordonnées pour chaque valeur du temps. 



Le programme que nous venons d'indiquer vient d'être rempli par un 

 astronome de l'Observatoire d'Helsingfors, M. Suxdmaxx ('). Avant 

 d'essayer de donner une idée du travail de M. Sundmann, il nous faut dire 

 un mot d'une remarque faite dès 1886 par Poincaré. Celui-ci a indiqué 

 incidemment que, si l'on était sûr à l'avance que la distance de deux quel- 

 conquesdes trois points restera toujours supérieure à une limite déterminée, 

 on pourrait affirmer que les coordonnées des trois corps sont susceptibles 

 d'être développées pour toute valeur de / suivant les puissances de 



a étant une constante positive convenable. C'est là un résultat qui, au 

 premier abord, paraît bien remarquable. Malheureusement, pour des condi- 

 tions initiales données, on ne sait pas si l'on se trouvera ou non dans les 

 conditions supposées, et Poincaré lui-même, probablement après des tenta- 

 tives infructueuses, écrivait : « Je ne crois pas toutefois qu'on puisse tirer 

 grand parti des applications de cette méthode à la Mécanique céleste ». 



Si les corps se choquent, le développement de Poincaré cesse d'être 

 applicable; mais, comme l'a vu M. Sundmann en analysant les diverses 

 circonstances susceptibles de se présenter, on peut utiliser un développement 

 analogue, après avoir remplacé préalablement le temps par une autre 

 variable indépendante convenablement choisie. 



(') Les points essentiels des recherches de M. Sundmann ont été communiqués à 

 la Société des Sciences de Finlande, les 17 décembie 1906 et 18 janvier 1909, et ont 

 fait l'objet de Notes parues dans les Tomes XXXIV el XXXV des Mémoires de cette 

 Société. Un Mémoire plus développé a paru dans le Tome X\X\ I des Acta mathe- 

 matica en 1912. 



