SÉANCE DU l5 DÉCEMBRE I9l3. 1 209 



Le point fondamental dans les recherches de M. Snndmann réside dans 

 le théorème suivant : Si les constantes des aires ne sont pas nulles toutes les 

 trois, on peut, les circonstances initiales étant données, indiquer une limite 

 positive au-dessous de laquelle les deux plus grandes distances entre les corps 

 ne descendent jamais. En particulier, les trois corps ne se choqueront certai- 

 nement pas au même instant si les constantes des aires ne sont pas nulles 

 toutes les trois, et c'est dans ce cas général que se place M. Sundmann 

 dans toute la suite de son Mémoire. Par contre, il peut arriver que deux 

 des corps se choquent à un certain moment, mais cette circonstance, qui 

 avait été jusqu'ici la pierre d'achoppement dans tous les travaux analytiques 

 concernant le problème des trois corps, ne va être la source d'aucune 

 difficulté grâce aux vues profondes de M. Sundmann sur ce qu'on peut 

 appeler le prolongement analytique du problème après le choc. Supposons 

 que, pour l = a, deux des trois corps viennent à se cboquer. On établit 



qu'alors les coordonnées des trois corps peuvent se développer suivant les 



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 puissances de (t — a) 3 . Dans ces développements, pour l<la, la valeur 



de (t — a) 3 est négative. Ces séries permettent de définir le mouvement 

 des trois corps après le choc; on y parvient en donnant, dans ces mêmes 



développements, des valeurs positives à (l — a) 3 pour l^>a. En fait, 

 on réalise ainsi un prolongement analytique de la solution, qui correspon- 

 drait à donner pour un moment (/ étant d'abord réel, voisin de a et infé- 

 rieur à a) des valeurs complexes à t, et à faire tourner le point corres- 

 pondant autour de a d'un angle égal à 3u dans le plan de la variable 

 complexe t. 



Le temps t (redevenu réel) continuant à croître, il peut y avoir d'autres 

 chocs (même une infinité), le problème étant après chaque choc prolongé 

 comme il vient d'être dit. C'est d'ailleurs une conséquence du théorème 

 énoncé plus haut que les valeurs de t correspondant à des chocs (s'il y en a) 

 ne peuvent avoir une limite finie. On voit donc nettement, d'après ce qui 

 précède, ce qui arrive quand le temps t grandit indéfiniment : la solution 

 reste holomorphe tant qu'aucun cboc n'a lieu, mais il peut arriver que, 

 pour certaines valeurs a de /, un choc entre deux corps se produise; les 



coordonnées sont alors susceptibles d'être développées suivant les puis- 



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 sauces de (t — a) 3 et le problème peut être prolongé analytiquement au 



delà de / = a. 



Tous ces points établis, et la démonstration de plusieurs d'entre eux a 



exigé une grande pénétration, il reste à faire un cliangement de variable, 



C. R., i 3 .3, 2' Semestre. (T. 157, N" 24.) ID ^ 



