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exposées dans un Rapport sur les récents progrès du Système métrique, qui a 

 été élaboré par M. Ch.-Ed. Guillaume, et que je présente également à 

 l'Académie. Ce rapport traite des perfectionnements introduits dans la 

 construction et dans l'élude des étalons, des déterminations fondamentales, 

 des modifications apportées aux législations, enfin des progrès d'ordre 

 général dans l'expansion du Système métrique. 



THÉORIE DES NOMBRES. —Sur les formes quadratiques binaires indéfinies. 



Note de M. G. Humbebt. 



1 . Dans un Mémoire publié au Journal des Mathématiques (6 e série, 

 t. IV), j'ai fait connaître des formules relatives aux minima des classes de 

 formes quadratiques binaires et positives : certaines sommes algébriques de 

 minima, étendues à toutes les classes de discriminant M, s'expriment à 

 l'aide des diviseurs des nombres M — x 2 , x prenant toutes les valeurs 

 entières inférieures, en valeur absolue, à y/M. 



J'ai, depuis, obtenu de nombreuses formules où les seconds membres 

 sont également exprimables par les mêmes diviseurs, et j'ai reconnu, très 

 simplement, qu'on peut, au lieu de ces diviseurs, introduire les coefficients 

 des réduites indéfinies de déterminant M. Dans ce qui suit, je me bornerai au 

 cas où M = /jN + 3. 



2. Soit une classe de formes quadratiques binaires indéfinies, de 

 déterminant /|N + 3 et de l'ordre propre; j'appellerai, dans cette 

 classe, formes réduites, les formes ax 2 -+- i bxy -+■ cy 2 qui satisfont aux 

 conditions suivantes : 



i° a et c sont impairs, ce qui entraîne h pair ; 



2° la circonférence représentative de la forme, c'est-à-dire la 

 courbe c(£ 2 + y] 2 ) + ib\ ■+- a — o, pénètre dans le domaine situé au-dessus 

 de l'axe des \ et limité par la circonférence £ 2 +ï) 2 = i, et les 

 droites ^ = +i, \ — — i . 



Cette définition des réduites n'est pas tout à fait celle de Stephen Smith; 

 les considérations qui vont suivre l'introduisent naturellement. 



Nous appellerons réduites principales les réduites dont la circonférence 

 représentative coupe la circonférence i; a -+- ïj a = i ; les réduites non princi- 

 pales seront dites secondaires. 



