SÉANCE DU 22 DÉCEMBRE 1 9 1 3 . l35p, 



Pour qu'une forme (a, b, c) soil réduite principale, il faut et il suffit (en 

 outre des conditions a et c impairs) que 



(a + c) ! — 4.6 ! <o. 



Les réduites principales se groupent quatre à quatre, à savoir (a, b,c)\ 

 (a, — b,c);(—a,b, — c);(—a, — b,—c), qui sont toujours distinctes ; il 

 sera parfois utile, pour simplifier les énoncés, de n'introduire que les 

 réduites principales où a + c > o, et qui forment la moitié du nombre total, 

 car a-hc ne peut être nul. 



3. Cela posé, voici une des formules auxquelles il a été fait allusion 

 plus haut. 



Considérons les classes de formes binaires positives de discriminant 

 4 ÎN -i- 3 et de l'ordre propre ; on appelle minima d'une classe les trois plus 

 petits entiers représentables proprement par les formes de la classe : si 

 (a, (3, y) est la réduite de Gauss pour la classe, les minima sont a, y, 

 fc.-Ky — 2|'P| ; deux de ces nombres sont impairs, le troisième est pair. 

 Désignons par/»,, m., lesdeux minima impairs (m, <m. 2 ) ; par/w le minimum 

 pair. On a 



) + ,^ =-1 ) 1 = - 2 2 ^ ( i N + 3 - ', . r = ) . 



(>) 



— 1 



Au premier membre, la somme s'étend à toutes les classes de formes 

 binaires et positives de discriminant ï N + 3 et de l'ordre propre, c'est-à- 

 dire où les coefficients extrêmes ne sont pas pairs à la fois. Au second 

 membre, •]/ (M) désigne la somme des diviseurs de M inférieurs à y'M et E 

 porte sur les valeurs entières de r, inférieures, en valeur absolue, à .' \ JN ■+- 3. 



)«/,— 1 

 = (— ï) ' . 



Or, si l'on pose /j\ + 3 = 4j ,2 + dd t , avec d et c/, positifs et d<^d s , le 

 second membre de (1) s'écrit — l'Zd, la somme s'étendanl aux décompo- 

 sitions 



(2) 4N -+- 3 = î-£--i~ dd u #1°; d,d t >o; d <Cd t . 



D'autre part, à la décomposition (2), associons les deux formes (a, b, <?), 



définies par 



, a . d, — d d t — d d t +d 

 (o) a —■ — 2./, c — h 2X, b — ± • 



