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Il est aisé de voir que a et c sont impairs, que b 2 — ac = 4N -+- 3, enfin que 

 (a + cf — 4& s <C o. D'ailleurs, a -+- c est positif. 



Les deux formes (a, b, c) et (a, — />, c), ainsi introduites, sont donc des 

 formes binaires indéfinies, distinctes, de déterminant 4N + 3, et réduites 

 principales, pour lesquelles a-±-c^>o. Réciproquement, à une réduite 

 principale (a, b,c), oùa + c>o, et de déterminant 4N -f- 3, correspond, 

 par (3), une et une seule décomposition (2), car le signe ± dans la der- 

 nière (3) doit être choisi de telle sorte que </, 4- d soit positif. 



La relation (1) s'écrit dès lors, puisque id = 2 \ b \ — (a + c), 



(4) 



2["«(isr) + "-(iïr)]=;2i- + . e; -' a i*«ï 



la somme, au premier membre, s'étend à toutes les formes réduites de Gauss 

 positives (ordre propre) de discriminant 4N + 3, et m,, m 2 sont les minima 

 impairs d'une quelconque de ces réduites; la somme, au second membre, 

 s'étend à toutes les réduites principales indéfinies, de déterminant 4N ■+■ 3, 

 pour lesquels a -+- c > o. On peut supprimer cette dernière condition et 

 étendre la somme, au second membre, à toutes les réduites principales de 



déterminant 4 N -t- 3; seulement, il faut remplacer le facteur - par y et écrire 

 | a -+- c | au lieu de a -+- c. 



La formule (4) donne ainsi une relation remarquable entre les coefficients 

 des réduites, pour les formes définies et indéfinies de déterminants respectifs 

 -(4N-h3)et + (4N + 3). ' 



Exemple. — Soit 4N -+- 3 = 11. Pour les classes de formes positives de 

 déterminant — 1 1, on a les trois réduites de Gauss : 



a;*-+- ii_y 2 ; 3a? 2 ± ixy -+- 4/', 



et les valeurs correspondantes de m n m., sont respectivement 1, 1 1 ; 3, 5; 

 3,5. 



Le premier membre de (4) est alors 1 — 11 — 3 + 5 — 3 + 5, ou — 6. 



Pour les classes indéfinies de déterminant 11, les réduites principales, 

 où a ■+- c est positif, sont : 



x- ± Sjry -+- 5y-; 5x*±8xy -+- y' 1 ; 5x*± \ix y •+■ 5j' 2 ; 



les valeurs correspondantes de a + c — 2|è| sont —2, — 2,-2, —2, 

 — 2,-2, dont la demi-somme est — 6. La formule (4) est ainsi vérifiée. 



