SÉANCE DU 22 DÉCEMBRE IO,l3. 1 36 1 



4. Voici d'autres résultats, sur la démonstration desquels j'aurai à 

 revenir, et où les classes indéfinies s'introduisent par un procédé analogue. 



Décomposons un nombre de la forme 8 M -+- 3 en trois carrés impairs, de 

 toutes les manières possibles : 



(5) 8M + 3 = (oJ- + i)'+( 1 J-'+,)S-f( 2 r+i) ! , (A; A 1 , k'io); 



d'autre part, considérons, pour le déterminant 8 M -1-3, les réduites princi- 

 pales (a, b, c) où a-f-c>o; désignons, pour abréger, par [3 la quantité 



\b\ (a -+- c), qui est nécessairement impaire et positive; on a, en repré- 

 sentant par/(a;) une fonction paire de x, et d'ailleurs quelconque, 



(6) ^ i (^-)/(i-\b\)-2^ t /(2k + J ). 



La première somme s'étend aux réduites principales ci-dessus; la seconde 

 aux décompositions (5). 



Si l'on fait en particulier / = i, et si F(8M + 3) est le nombre des 

 classes positives (ordre propre) de discriminant 8 M -4- 3, la formule (6) 

 donne, à cause de la relation connue entre ce nombre et celui des décom- 

 positions (5), 



(7) f ( 8m - 3 )- 2 -i;(x' 



I portant sur les réduites principales de déterminant 8M + 3, pour 

 lesquelles a + c>o. Cette dernière formule se déduirait, par le procédé 

 du n° 3, d'une formule donnée par Hermite dans sa Lettre à Liouville et 

 dans le Tome 100 du Journal de Cre/le. 



■r-1 



De même, faisant, dans (6), f(x) = x 2 , ou f(x)=x( — i) " , on 

 trouverait successivement : 



|(8M + 3)F(8M + 3) = 2feï)aPC« + c)> 



2(-i)*(2* + i) = -i.2|6|(-i) s • 



Une formule du même genre que (6) s'applique aux décompositions de 

 4 N -i- 3 en cinq carrés; elle comprend, comme cas particulier, la suivante, 

 qu'il est aisé d'établir directement : 



Le nombre total des décompositions de 4N -+- 3 en cinq carrés, les trois 

 carrés impairs étant écrits les premiers, et les entiers élevés au carré 



