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L'étude de ces points à l'infini sera faite sur Tune des deux formes sui- 

 vantes d'équations : 



/ -4-co 



S '^"*"' 



V y — a:— t". 



ix+f= \_ a,,l-''. 



Y — x = ■ ■ 



2 



Les équations (i) ou (2) conviennent à la détermination d'une courbe C 

 possédant à l'infini un point comptant pour p, si l'on a l'un ou l'autre des 

 systèmes : 



p 4- l -H h , < 



n—' ■ , a, — o 2 = . . . = « A .= o, a /%lt p±o, /. p — i; 



2 m + 1 = p ■+■ H- k, a 1 — a î =...=a/ t =o, a k+i ^zzo, kSp — 1. 



On peut ainsi fixer le degré et les points à l'infini de T, quand on s'est 

 fixé la nature des points à l'infini de C. 



Si l'on considère alors les équations (1), on peut énoncer le résultat 

 général suivant, qui suppose a, différent de zéro : 



La condition nécessaire et suffisante pour que le point à l'infini considéré 

 n'introduise pas dans les intégrales 3,-, -}.,, & 3 de singularités logarithmiques 

 est que l'indicatrice ail en ce point 3n points confondus, communs avec 

 la courbe d'équation 



x" — (y — x) (a" -+- &iX -f- x 2 x'-+ . . . -hlx"-' 2 -\- [xo.-"-' ) 



(j_a-) 2 [(3 + p,*+ . . . +X(f*+i) x»-*+ l±it±2l x , 



o. 



Cette courbe dépend de n — 3 paramètres. 



Ce résultat se complète par les énoncés spéciaux à n = 1, n = 2, remar- 

 quables d'ailleurs par leur simplicité : donnons-les sous une forme géo- 

 métrique : 



i° Il faut et il suffit que l'indicatrice ait comme tangente stationnante 

 une génératrice rectiligne de la sphère; 



2 II faut et il suffit que l'indicatrice ait un contact du cinquième ordre 

 avec une certaine parabole sphérique. 



