SÉANCE UU 22 DÉCEMBRE ICJlS. 1 '58 1 



Celte parabole, section de la sphère par un plan isotrope, est celle qui 

 fut rencontrée par M. Lyon dans sa thèse. C'est l'indicatrice de la cubique 

 gauche à torsion constante. 



Envisageons maintenant les équations (2) et supposons encore a, différent 

 de zéro. La condition nécessaire et suffisante pour que le point à l'infini 

 considéré n'introduise pas dans les intégrales -V 3 2 , -v, de singularités loga- 

 rithmiques, est que l'indicatrice ait en ce point '\n-\- 2. points confondus 

 communs avec la courbe d'équation 



V ' — Y- \a\"" -f-a,\ - ^\ ; T ... + a ! „,V i "- 1 + ? '"^' X '" ' =«i 

 X=à+y, Y — x -y. 



On peut donner dans chaque cas des énoncés de forme analogue. Don- 

 nons ici celui qui est relatif à la valeur la plus grande de l'entier k, soit 

 p-ï. 



Il faut et il suffit que l'indicatrice ait p(p + 2) points confondus com- 

 muns avec la courbe d'équation 



v"= a';,, { (y — >)/"■' +■ x t x(y — x)P+ y.,.rHr x)''- l -h ... -1- a ; ,_,. /■/'--( .r — y)\ 



Ces résultats fournissent sans effort une infinité de courbes unicursales 

 nouvelles, donnent par une méthode régulière toutes celles qui n'ont à l'in- 

 fini que deux points distincts, avec de précieuses indications sur les courbes 

 algébriques les plus générales. 



Si l'on cherche, par exemple, toutes les indicatrices de degré m, ayant 

 m points distincts à l'infini, il faudra qu'en tous ces points, une génératrice 

 rectiligne de la sphère soit tangente stationnaire. Supposons cpie p de ces 

 droites appartiennent à un système de génération, 7 appartenant à l'autre 

 (p + q = m) : 



i° p^3, (/ 3. 



Ces courbes n'existent pas au-dessous du sixième degré. 



2" Le genre g doit satisfaire à l'inégalité suivante, où p est supposé plus 

 grand que q : 



g^P — Ç+i- 



Le minimum du genre est donc l'unité, el ce minimum ne saurail être 

 atteint que pour des courbes de degré pair. 



La plus simple de ces courbes sera, si elle existe, la courbe de genre 1, 

 dont l'équation serait de la forme 



(.r — .r,) (.r — .r,) (.v — x 3 ) (y — .,-,) (y — .,-,) (y - ,r t ) ■- /,■( y — .r y'. 

 C. R.. 1913, a- Semestre. (T. 157, N 25.) l8o 



