SÉANCE DU 22 DÉCEMBRE 191 3. l383 



où H est une solution du système 



(2) - — r "AH, R„ = u.R (y = const.)i 



ou ov 



intégrable en même temps que (1) et ayant par conséquent n solutions 

 linéairement distinctes; R n R,, ..., R„ étant les transformées successives 

 de Laplace de la solution H. J'ai étudié séparément le cas n = 2p -f- 1 , 

 n = ip. Dans le premier cas, on peut prendre 



x'= Rr — M 2p x, -hR ïp _ja-, — . . .4-R,.r., p , 



et l'on démontre que, quelle que soit la solution R de (2), le réseau (x' ip+l ) 

 est identique à (x'). Par conséquent, dans ce cas la condition est suffisante. 

 J'avais déjà résolu ce problème pour le cas n = 3, à l'occasion de l'étude 

 des transformations des surfaces S (Comptes rendus, 18 avril 1910). 

 Dans le second cas (n = ip), on a 



a?'= — H.r — Rjp_i *i+ K,,,^..!-, — .. .— R, jc Sp _i. 



et Ion démontre que le réseau (x, p ) n'est identique à (x' ) que dans le cas 

 où l'on.a la relation 



( 3 ) RR lp - R, R, p _, + R, Rtp-i - ... -h R, p _, R, - R, p -, R, = 9 = o. 



Si la solution R du système (2) est quelconque, on a 6 7^0 ; mais, si l'on 

 tient compte du système (2), on trouve aisément 



il _ £! — 



d« ~ /Je 



c'est-à-dire = const. En prenant alors l'intégrale générale 

 R = 2cî : '>Ri" (1=1, 2, .. .,2p) 



du système (2), on aura 



fj = c, 



où c dépendra effectivement des constantes c'", que l'on pourra par consé- 

 quent déterminer de manière que l'on ait c = o. On obtiendra ainsi des 

 réseaux (x' ) à invariants égaux et à suite périodique. J'ai déjà employé 

 cette méthode dans le cas particulier de n = 4 (Bulletin de la Section scienti- 

 fique de i Académie roumaine, juin iç)i3). 



