i3H4 Académie des sciences. 



GÉOMÉTRIE INFINITÉSIMALE. — Sur les courbes fermées à torsion constante. 

 Note île M. lî. Hosti.nsky, présentée par M. Emile Picard. 



Soit 



(0 -jj- = "/.i-''i + a*!^î+ ... + «/,„'„ (k = i, ■• ri) 



un système d'équations différentielles linéaires, où les coefficients a kl sont 

 fonctions réelles de la variable indépendante/ et d'un paramètre [/.. On 

 suppose : i"que ces fonctions sont continues et périodiques avec la période co 

 par rapport à la variable /; 2 qu'elles sont développablcs en séries entières 

 de la variable u. et convergentes pour toute valeur de u; 3° que, pour 

 u. = o, toute solution du système (1) est périodique avec la période oj. 

 Un système fondamental de solutions pour u. = o : 



(2) .r, = o„(/), x t — fait) V n =<f tu (t) (i— 1,2, .. ., Il) 



étant donné, le déterminant du /«''' mc degré formé au moyen des fonctions (2) 

 n'est pas nul pour chaque t; attribuons à t une telle valeur t n que la 

 valeur correspondante du A du déterminant soit différente de zéro. 



Faisons croître le paramètre jj. d'une manière continue à partir de la va- 

 leur u. = o. A chaque solution (2) correspond une nouvelle solution pério- 

 dique dont les valeurs initiales pour t '= t B sont fonctions continues de u. 

 (voirPoiNCAitii, Les méthodes nouvelles de la Mécanique céleste, t. I, n° 3(), ou 

 le Traité d'Analyse de M. Picard, 2 e édit., t. III, p. 167). On obtient ainsi 

 n solutions du système (1). 



Le déterminant formé au moyen des valeurs initiales pour t = t est 

 lui-même une fonction continue de u. qui se réduit à A , si u. = 0; donc il 

 ne peut être nul, pourvu que la valeur absolue de ;j. soit assez petite. Dans 

 cette hypothèse, les nouvelles solutions forment encore un système fonda- 

 mental. Toute solution satisfaisant à (1) sera périodique avec la période co. 



Mais on peut aller plus loin et démontrer que cette propriété subsiste 

 pour [j. quelconque. 



Une fonction qui satisfait aux équations (1), déterminée par certaines 

 valeurs initiales numériques, s'exprime par une série 



(3) , ,^h,„it). ,j."'. 



