SÉANCE DU 11 DÉCEMBRE Ip,l3. l385 



Convergente pour toute valeur de u. (voir la démonstration de M. Picard, 

 lue. cit., t. III, p. 89). Ecrivons la condition que le second membre de (3) 

 soit une fonction périodique de / avec la période to, jjt étant assez petit en 

 valeur absolue; on trouve que tous les b k doivent être périodiques. Donc, 

 toute solution du système (1) pour u. quelconque est périodique avec la période m. 



Désignons par C une courbe gauche sans point singulier à torsion 

 constante t; soit G' une autre courbe à torsion constante (t -4- [/.). Suppo- 

 sons qu'on peut déduire C de C par une déformation qui n'altère pas la 

 courbure p. 



Si la courbe C est fermée, C l'est en même temps. Pour démontrer ce 

 théorème, remarquons d'abord que p sera une fonction continue et pé- 

 riodique de l'arc s; la période to est égale à la longueur totale de C. 



Le système différentiel 



, , . d^'i <l.i - dx 3 . (t.r , 



(4) ~dJ=^ T7t = '"- 117 ' -p*.-(* + *0**. ■& =(*.+ &*» 

 admet les quatre solutions suivantes : une première solution 



«!==«, .r 2 = o. cT 3 — o, x i =o, 

 a. étant une constante différente de zéro; une deuxième solution 



j'i — X % &1~ <l, J?3 = b, J'4 — c, 



./• étant la première coordonnée cartésienne d'un point sur C et a, l>, c dési- 

 gnant les cosinus directeurs de la tangente, de la normale principale et de 

 la binormale de C par rapport à l'axe Or. Enfin, on déduit la troisième et 

 la quatrième solution de la deuxième en substituant Ov ou Os au lieu 

 de Oit'. 



Le déterminant des quatre solutions précédentes est égal à a; on en con- 

 clut que, dans le cas particulier où il s'agit de la courbe fermée C (u = o), 

 chaque solution du système (4) est périodique. 



On voit que ce système satisfait aux conditions énoncées au commence- 

 ment de celte Note; par conséquent toute solution du système (1), pour u, 

 quelconque, sera périodique, c'est-à-dire que C sera fermée. 



Les considérations précédentes ne s'appliquent pas au cas où la va- 

 riable s ne figure pas explicitement dans les coefficients du système (4). 

 Dans ce cas exceptionnel, la courbure p est constante ; si C est un cercle, 

 C est une hélice ordinaire. 



