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THÉORIE DES NOMBRES. — Sur la multiplication complexe. 

 Note de M. A. Chatei.et, présentée par M. Emile Picard. 



-l'ai indiqué, dans de précédentes publications ('), l'intérêt que présente, 

 pour une certaine représentation des nombres algébriques, la réduction 

 d'une substitution linéaire à sa forme canonique. Celte même réduction 

 permet de poser, de façon générale, le problème de la multiplication com- 

 plexe des fonctions périodiques et met en évidence ses relations avec les 

 nombres algébriques. 



1. Soit une fonction de n variables imaginaires a?/, ou un système de 

 fonctions, admettant in périodes simultanées et indépendantes (fonctions 

 entièrement périodiques de M. Esclangon) et considérons le Tableau P 

 dontlesrcpremières colonnes constituent une matrice de basedumodule des 

 périodes, et dont les n dernières colonnes soient les imaginaires conjuguées 

 des premières [A(P) ^ o, puisque les périodes sont indépendantes]. 



Une multiplication complexe consiste à faire sur les x t une substitution, 

 soit U, tableau d'ordre n. Cette opération multiplie à droite par U la 

 matrice des périodes et remplace P par 



/U o\ 



Px .. ïT ) ' ^ > ma g' na ' re conjugué de U. 



Le problème se pose alors ainsi : Dans quel cas les nouvelles périodes 

 appartiennent-elles au module des anciennes? Ou, dans quel cas existe-t-il 

 un tableau à termes entiers S tel que 



Px( U £WxP ou Px( V 2 Wp"=i. 



V O U ) \ O U ) 



Si l'on remplace U par la forme canonique, on met aussi S sous sa forme 

 canonique; on voit alors la relation avec les entiers algébriques. 



2. Dans le cas de i = i , la forme précédente est, sans plus de modifi- 

 cations, la forme canonique de S. En supposant les fonctions analytiques et 

 uniformes et en s'appuyant sur les résultats que j'ai établis ailleurs, on 



(' ) Comptes rendus, ai novembre 1910, 19 février 191 1; Leçons sur la théorie des 

 nombres. Paris, 1913. 



