SÉANCE DU 22 DÉCEMBRE IÇ)l3. 1 387 



retrouve les propriétés de la multiplication complexe des fonctions ellip- 

 ticjues. La base des périodes, ou plus exactement le Tableau P, doit être à 

 une, dilatation près, la base d'un idéal d'un anneau d'un corps quadratique 

 imaginaire. Les multiplicateurs U, qui sont alors des nombres, sont tous 

 les entiers complexes de cet anneau. Il y a autant de classes de fonctions 

 elliptiques de même rapport de périodes (P défini à une dilatation près), 

 admettant un anneau donné de multiplicateurs que de classes d'idéaux 

 dans cet anneau (les bases des idéaux d'une même classe se déduisent de 

 l'une d'elles par dilatation). 



.'>. Pour le cas n = 2, il est naturel de s'occuper plus spécialement des 

 fonctions abéliennes. Mais pour de telles fonctions, il existe une relation 

 entre les périodes qu'on peut écrire symboliquement, dans le cas général : 



\o. l ct.. l y..x, Il x S x 



P* 



S étant un tableau symétrique gauche, d'ordre 4, à termes entiers. 



Si l'on cherche les U qui peuvent être mis sous la forme canonique géné- 

 rale U = Vx [^î 7 ]'] X V -< , les nombres Y), y]', y], yj' sont quatre entiers 

 conjugués du quatrième ordre, qui peuvent devenir du deuxième si deux 

 d'entre eux sont égaux. Mais, si l'on tient compte de la relation ci-dessus, 

 on voit que le groupe du corps des yj (quand ce corps est de degré 4) 

 est seulement d'ordre 8. Les Y] sont donc biquadratiques et leur corps 

 contient un corps du second degré k. Donc, parmi les multiplications 

 complexes (si elles existent ) d'un système de fonctions abéliennes, il y en a 

 une infinité dont les racines de l'équation en A sont des nombres quadra- 

 tiques. En discutant la nature de ce corps /• et du corps biquadratique qui 

 en dérive peut-être, on retrouve les différents cas de multiplication indi- 

 qués par M. Humbert dans son important Mémoire du Journal de 

 M. Jordan (1900), pour une forme particulière de S. On trouve en outre, 

 pour chacun d'eux, des résultats intéressants sur les bases des périodes et les 

 multiplicateurs, résullats qui, dans un cas, généralisent les propriétés des 

 fonctions elliptiques. 



\. Si le corps k est imaginaire, on obtient, soit le cas elliptique 

 (une fonction elliptique admet les périodes considérées), soit une cir- 



