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constance incompatible avec l'inégalité fondamentale que doivent vérifier 

 les périodes. 



Si /■ est réel, la base des périodes est nécessairement de la forme 



A x 



X X: 



les colonnes de A sont formées de nombres de k, les deuxième et quatrième 

 étant respectivement conjuguées, dans k, des première et troisième. 

 Les A, X', v., \i.' sont des nombres imaginaires a priori arbitraires et X est 

 une substitution d'ordre 2 également arbitraire. Eh adoptant le langage 

 géométrique indiqué par M. Humbert et si ingénieusement employé par 

 M". Cotty, on peut encore dire que les périodes sont formées de deux points 

 pris arbitrairement sur une droite, choisie elle-même arbitrairement dans 

 une certaine congruence arithmétique. Les multiplicateurs comprennent 

 alors X" 1 x [e, t'\ X X, les e étant les entiers d'un certain anneau de /•, 

 défini à partir de A; si les A, u. sont arbitraires, il n'y a pas d'autres 

 multiplicateurs. 



Pour des valeurs convenables des A, p., il existe des multiplicateurs ayant 

 pour racines lambdaïques des nombres biquadratiques imaginaires. 

 La matrice des périodes est alors égale, à un produit près à droite par X, 

 à la base d'un idéal d'un anneau d'un corps biquadralique (relativement 

 quadratique par rapport à k); les multiplicateurs sont X~' x [y], yj'] x X, 

 les rj étant les entiers de l'anneau, il y aura autant de classes de fonctions 

 abéliennes (définies à une substitution linéaire près sur les variables) que 

 de classes d'idéaux dans l'anneau. Cette extension des propriétés des fonc- 

 tions elliptiques est bien conforme à la vérité générale, énoncée par 

 M. Cotty dans une récente Note (') sur les relations entre fonctions 

 abéliennes singulières et corps quadratiques réels. 



Enfin, en disposant autrement des A, u., on peut avoir, en plus des 

 multiplicateurs déjà indiqués, X, [e, , e', J X7 1 et X 2 f e,, e!,] X;', les e, entiers 

 complexes d'un anneau d'un deuxième corps #(e,), qu'on peut choisir 

 quelconque (mais réel), les z. 2 entiers d'un anneau d'un troisième corps 

 déduit des deux premiers. Les X,, X 2 se déduisent de X. 



Il va sans dire que dans chacun de ces cas, on retrouve les relations 



(') domptes rendus, i3 mai 1 9 1 3. 



