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La présente Note a pour objet une généralisation de ces propriétés qui 

 est, comme nous le montrerons ultérieurement, d'une grande importance 

 dans l'étude des équations différentielles à coefficients quasi périodiques. 



Soient «,, a 2 , ..., a p une base du corps des périodes de f(x), et />,, 

 b 2 ,...,b q , q nombres quelconques que nous appellerons aussi des périodes et 

 dont nous envisagerons le corps défini par eux, c'est-à-dire l'ensemble des 

 nombres (3 donnés par 



(6) i = Il + 'Il + .. -I_ 'Il 



(«,, n 2 , ..., n q étant entiers). Sans nuire en rien à la généralité, on peut 

 supposer indépendantes les périodes a,, a 2 , ..., a p d'une part, les périodes 

 &,, b 2 , ..., b q d'autre part. 



La fonction /(a?), étant quasi périodique sur le champ des périodes a,, 

 a.,, ...,« / ,, l'est aussi sur le champ défini par l'ensemble a,, a.,, ...,a.„b t , 

 b 2 , ..., b q . Dans leur ensemble, ces périodes peuvent ne pas être indépen- 

 dantes. Si q -+- r est l'ordre du corps qu'elles définissent, on peut établir 

 d'abord l'existence de nombres c n c 2 , ..., c r et d'un entier A tels que le 

 champ défini par c,, c,, ..., c n lb n \b 2 , ..., lb q soit un multiple (') de 

 celui défini parrt,, a 2 , ..., a p ; b n b 2 , ..., b, r 



Dans ces conditions, f(x) est aussi quasi périodique sur le champ 

 des périodes c, , c 2 , ..., c r , A//,, Ab. 2 , ..., Xb q et nous désignerons par 

 F (a*,, x 2 , ..., x r , y, , y 2 , ..., y q ) sa fonction associée, périodique par rapport 

 à chaque variable. 



Soit maintenant h une suite de valeurs telles que 



lim [/* -h /», ().&,)] =o 



liai [fi -+- m q (kb q )] = o 



lim [/? + /ijC,] o (m;, «y entiers). 



lim [À-t- «r-l c r-l] = ° 



lim [/( -+- n r c r ] = '-,. 



La suite h est congrue à zéro suivant les périodes Aft,, ~)dt 2 , ..., Ab q , par 

 suite congrue à zéro suivant les périodes />,, 6.,, ..., b q . Les fonctions 

 f(x -+- h) ont alors pour limite la fonction 



ft(x) = Y(x, X, ..., X H-:!,. 



(') E. Esclangon, Les fonctions quasi périodiques (Annales de l'Observatoire de 

 Bordeaux, t. XII, p. 108). 



