SÉANCE UL' 22 DÉCEMBRE IO,l3. l3gi 



les fonctions/, (as -+- h) ont pour limite la fonction 



/,(.r) — F(.r, x, ..., x + 2;,., a?, à;, ..., x) 



et ainsi de suite. Mais ij ; . peut être choisi arbitrairement, car les périodes 

 c,, c 2 , ..., c r , X&,, X6 2 , ..., Xè ? sont indépendantes; si on le choisit incom- 

 mensurable avec c,, l'expression 



n 



a, pour n infini, une limite qui est une fonction quasi périodique o,(a;) 

 attachée au corps des seules périodes c,, c 2 , ..., r r _,, X6 ( , X£ 2 , . .., X6 ? . 



Sur 9,(3;) nous ferons disparaître de la même manière la période c„, 

 puis, sur la nouvelle fonction, la période c,, etc., pour arriver finalement 

 à une fonction quasi périodique 9 (a?) attachée au corps des seules périodes 

 Xô,,Xi 2 , ..., ~kb q et dont nous désignerons par <!>( y,, y.,, ...,y q ) la fonction 

 associée. 



Ceci posé, nous pouvons former une suite de nombres h tels que 



lira [/( +s,(/t,)] = b, 



lira [h -+- i s (>.6jj] = o (s,, s t ,...,s q entiers). 



lira [A + *,,(/&,,)] = o 



La suite A est évidemment congrue à zéro suivant les périodes b t , b 2 , ..., 

 b q . Les fonctions o(à;-i- h) ont pour limite la fonction 



-ii, (je) =:4» (x + 6,, .*-, ..., x) ; 

 les fonctions -|, (a; -+- A) ont pour limite la fonction 



ty î (x) = Q>(x + ib u x, ..., x); 

 ainsi de suite, de sorte que l'expression 



' d>,(x) -h<l) t (x) -f- ... + 'i„(.f) 

 n 



a, pour « intini, une limite qui est une fonction quasi périodique attachée 

 au champ des périodes b t , ~kb 2 , ..., Ab q . Sur cette nouvelle fonction et par 

 le même procédé, nous ramènerons la période \b 2 à la période b 2 , etc., 

 de sorte que nous arriverons fatalement à une fonction quasi périodique O(o-) 

 attachée au champ des périodes b n 6,, ... , b q . 



