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Il est clair que la suite des opérations précédentes laisserait inaltérée toute 

 fonction quasi périodique attachée au corps des périodes b t , b. 2 , ..., b, r 



D'autre part, comme les limites sont toujours atteintes uniformément, 

 ces opérations peuvent être effectuées terme à terme sur tous les éléments 

 d'une série uniformément convergente, en particulier sur la série (2) qui 

 représente f(x). Les seuls termes de la forme (3) de V k (x) qui subsiste- 

 ront seront ceux pour lesquels les périodes a seront de la forme (6), c'est- 

 à-dire appartiendront au corps défini par &,, A.,, ..., b q . En désignant leur 

 somme par u k (x), la série 



sera convergente et représentera précisément la fonction définie plus haut. 

 On a ainsi, par deux procédés différents, un moyen de séparer, dans une 

 fonction quasi périodique donnée, la partie qui constitue, si elle existe, une 

 fonction quasi périodique attachée à un corps de périodes b t , h.,, ..., b q 

 arbitrairement données. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur le développement d'une fonction en série de 

 polynômes ultra-sphèriques . Note de M. Ivvmpê de Fériet, présentée 

 par M. Appell. 



Lem/ne. — Soit 0(*,, x.,, ..., x jl+s _ t ) une fonction harmonique et finie à 

 l'intérieur de l'hypersphère S : x] + ... + x' l a+s+t = 1; se réduisant sur S à une 

 fonction Q,(x n . . ., x p ) et possédant le développement taylorien con- 

 vergent 8(Ç lf ..., Ç,, ô,... ) o) = S^'...^K„, i ...„, ()! dans tout le do- 

 maine \ = 1 — x] - . . . — x- p > o, x^ = . . . = x /l+s+ , = o ; on a 



(') / \.-' £V$...„, dx t . . .djop— i— K,,,,...,,, / X,,- dx x ...dx p , 



ou 



p + s — 1 



Si $ et 'F désignent les fonctions définies dans une Note précédente ('), 

 faisant dans W : 1 = A, j3, = a, . . . fi p _, = a y , ,, et appliquant la formule 

 de Green, pour l'intérieur de S, à W et 0, puis à <I> et 0, par soustraction, 

 on obtient (I). 



( x ) Comptes rendus, séance du 17 novembre 1910. 



