SÉANCE DU 22 DECEMBRE IÇ)l3. l393 



Soit 



H = [((t l .c l + ...+ a p x ,,— i) 3 +(«ï +• ■ ■+o*)<aî* +t + ..i-H_*jLM +1 j] 2 (*>o), 



la l'onction harmonique et finie à l'intérieur de S : (|a y |<|i), qui définit 

 sur S, d'après M. Appell ('), les polynômes adjoints UJ*' . „, , 



H s =r[( a, .»?, + .. ,-{-a p x p — i) 2 -f- (a; -t- . . .-+-«;, )(i — .v\— . ■ . — x p )] ; 

 2 a"'* a'"r U!£' 



Comme H (H,, ...,£,,, o, ..., o) === (î — a, ç, — . . .— a p % p )~ s , l'application du 

 lemme donne les résultats suivants : 



Si un seul indice de U est différent de l'indice correspondant de V 



JfP ■'- ' 

 *p ' m, ... nij ... m., '-'m, . ..[*,.■■'",. <*X\ ■ • .djS p = O, 



si /oms les indices sont égaux 



X;,' 2 V,,;,.. ,„ U$...,„ ete, . . . dx p 



= _^_ (f^O -f xf 1 ^...^. 



2,11 + 7 {i,m l )...(i,m l ,)J (Si=ii) * 



D'où la possibilité de calculer le développement d'une fonction 



(") Œ(x„ r,,) = 2 A mi ...„ v U;,1|...„ v ou (c) i2 = 2B OT( ..., nf ,V^;...,„ p . 



Par exemple, pour la forme (m), 



(m) r' x t ûvï,...„,,^...^ 



= A 'l ^4 f X^dx, . . . d.r„. 



Dans le cas général, (III) n'apprend rien sur la convergence de (m); 

 mais si la fonction donnée Q, est taylorienne, la fonction harmonique 0, 

 telle que s =:ii (solution du problème de Dirichlet), satisfait aux condi- 

 tions du lemme, d'où par simple quotient de (I) et de (III) 



fIV v a - (i.m t )...(i,m p ) K 



(') P. Appell, Comptes rendus, séance du 1 3 juin 1 9 13). — C. Hermile [Œuvres, 

 t. II) et F. Didon (Ann. Éc. Norin., t. V), avaient considéré des cas particuliers de 

 ces polynômes. 



