SÉANCE DU 22 DÉCEMBRE I 9 I 3 . l395 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les équations de Fredholm de première espèce. 

 Note de M. Kyrillk Popokf, présentée par M. G. Bigourdan. 



1. Soient 



/(*)= j H{x.y)F(y)dy et ? (j?) = f K(.c, y) V (y) dy 



deux équations intégrales qui sont vérifiées par une même fonction F(y). 

 On a 



f{x) o{x) = f N(.r, y 1 t?| x) F(y)dy = f k(.r. y) /(.r) dy, 



et par conséquent 



/"' 



/ [N(x, r)o(.r)- K(.r,. v)/(.r)] T( virfr = o 



pour toutes les valeurs de a? dans un domaine déterminé, ce qui donne 



N(j!,y) _ K(\r, r) 

 /(•*) _ ?(') 



Inversement, si la condition (1) est satisfaite, les deux équations 



(') 



f(x)=f K(x,y)F(y)dy et <p(*) = f K(x, y)<b(y) dy 



donnent 



V(y)=<t>(y). 

 En effet, on a 



f(x)<?{x) = j N(*,jr) T (ar)F(7)ajr= / K(«, /)/(*) •(/) dy, 



et 



/' [N(*, v)cp(.r)F(r)-K(.r,j)/(.r)<I.(r)]./r = o. 

 •Ai 



Cette équation étant vérifiée pour une infinité de valeurs de x, on a 



N(*, y) ? (x) F(j) - K(.r, j)/(j- )$(.,•) = 0, 



et, ayant égard à la condition ( 1), on obtient 



|ili=i ou bien F(y) = ^(y). 



