1396 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



2. Supposons qu'il existe une fonction F( y ) qui satisfasse l'équation 



(A) f(<r)-f K(x,y)F(y)cly; 



elle satisfera aussi les équations 



/'(*) = [ 

 ■Ai 



\-(y)dy. 



dx 



On en conclut que pour que l'équation (A) admette une solution, il faut 



(2) 





<Jj; 



dd?" 



3. Supposons en outre que la solution F( v) de l'équation (A) soit deve- 

 loppable en série d'après les puissances de y : 



On aura 



/(* 



F( - y) = F +F ) r + F 2 7 2 +F 3 _y 3 + ...+ F„, y "+ £ . 



z„ = V f ■ N{x,y)dy + F l f N(tf,/) y dy + . . '.+ F„ f N(.r, y) y" </y, 

 , 3) | /*(.) + .,=F.j[ -^-H^+F.jf _^_Z2 7<fy + ... + F.jf — ^^V*. 



„ ,, . ~ fVNfar.y) . ., /* 1 d»N(ar,y) , „ /"' 0" N(.r, y) 



/w(.)+..= F.jf dj .- «fr-H-.jf -^r-^^ + ..- + F^ dJ .- r^.v- 

 Nous désignerons par D, le déterminant suivant : 



f N(x,y)dy f ti{œ,y)ydy ... f N(.r, /) y'< ,/,- 



•A «Ai «A) 



D, 



«Al *^(\ 



dN(a,r) 



/rf/ 



-I 



v r)N(A-,j 



r" d\ 



f 



r t)»N(.«',.y) 



.( 



d" N(x,_r; 



yfy 



l 





dx n - ./. Or" 



el par D, le même déterminant où les limites supérieures des intégrales qui 



