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Si le mouvement de la chaleur, régi par les équations différentielles (3), 

 est stalionnaire, on pourra, grâce à un théorème de H. Poincaré ( ' ), déduire 



de l'invariant intégral / / / CW&cSySs un autre invariant intégral, 



(4) 



f TFvÔo- ou f fcWM*, 



où i\ est la composante de v, suivant la demi-normale v à la surface quel- 

 conque o- en o<t. Si le mouvement de la chaleur est variable, l'expression (4) 

 n'est plus un invariant intégral des équations (3); on aura, alors, en vertu 

 de ces équations (3), 



(5) £ t J'J'cWv v $< r =ffcW< ?v S a , 



où cp v représente la composante, suivant la demi-normale v, d'un vecteur 

 dont les composantes sont les dérivées partielles par rapport à t des com- 

 posantes de la vitesse données par (3); on a, d'autre part, 



L'égalité (5) fournit la généralisation du théorème de H. Poincaré ; elle 

 est susceptible de transformations intéressantes lorsque la surface a est 

 fermée. 



La recherche d'un ou de plusieurs invariants de (3) (au sens de S. Lie) 

 fournira des renseignements précieux sur les trajectoires des quanta de cha- 

 leur. Dans le cas particulier où le corps est isotrope et où l'état est stalion- 

 naire, on trouve que W ne peut être un invariant de (3), sauf le cas des 

 températures uniformes. 



Le mouvement (3) présente, en général, des tourbillons. 



3. Le principe de Carnot-Clausius nous fournil la condition 



W(./-,y, z, t)lW\x -h v x dt, y -+- v y dt, z -t- v z dt, t), 



où i> x , v y , v z sont les trois composantes de la vitesse v fournies par (3) et où 

 dt^> o. Cette condition équivaut à 



àx dy J dz 



(') II. Poincaré, Les méthodes nouvelles de la Mécanique céleste, t. 111, Paris, 1899, 

 p. 33. 



