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Les fonctions u 2 , ...,«„ étant arbitrairement choisies, l'équation (E„), 

 considérée comme déterminant «,, est une équation linéaire aux dérivées 

 partielles. Il est clair que si l'on pouvait l'intégrer, le problème serait 

 résolu. Telle est la remarque qui nous a servi de point de départ. TNous 

 allons l'appliquer successivement aux équations (E a ), (E 3 ), 



2. La solution la plus générale de l'équation (E,) est donnée par les 

 formules 



(0 



| / P^«i, &*) dtc t = <f' Xl (a: u ti-,), 



o(.r,, u 2 ) désignant une fonction arbitraire ('). Pour abréger, nous n'éta- 

 blirons pas ce résultat. 



3. Intégrons l'équation (E 3 ). Le système des équations différentielles 

 des caractéristiques est 



r/.r, d.r, dx % F(x u x^, x 3 ) 



(2) — ; = — — , dU<= - CtJC,. 



d( u.,, </ 3 ) u{u-i, u 3 ) à(u t , u 3 ) o(in, u 3 ) 



d(xi, x^ dl& u x 3 ) d(x u x t ) d(xz, x 3 ) 



Il admet les intégrales 



(3) H 2 =«!!, «>=«»• 



Afin d'obtenir une troisième intégrale de ce système, définissons les 

 fonctions u„, ii 3 au moyen des équations 



!X t = | S (.«l, Mj, «3)1 

 fF(x u x^ x 3 )dx a =ty 3 (x u u t , u 3 ). 



On déduit de là, en posant, pour un instant, S 3 = / F (a;,, a? 2 , x 3 )dcc 3 , 



à(.r,, i.-j) 



'Htyi, tyt) _ ' _ d{x,, x 3 ) __ F(.t-|, x t , ,r,) _ 



à(ui, u 3 ) ~ d(u. 2 , u 3 ) " d(iu_, u 3 ) ' d{Uj, u 3 ) 

 d(x.,, £,) à{xs,x 3 ) d{x t ,x 3 ) 



Par suite, la dernière équation (2) peut s'écrire 



à ("2, «») 



(') M. Gravé (Journal de Mathématiques pures et appliquées, i8g6) a résolu 

 l'équation (E s ) dans le cas où le second membre est une fonction de x l . 



