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Déterminer les transformations ponctuelles de l'espace à n dimensions 

 admettant comme invariant intégral une intégrale ra-uple donnée. En parti- 

 culier, déterminer les transformations de l'espace à n dimensions qui 

 conservent les volumes. 



Établir, entre deux surfaces données, les correspondances ponctuelles 

 telles que, si (u, v), («', e')sont les coordonnées curvilignes de deux points 

 correspondants, on ait 



f /-F(«, c) du — ! Ax n'. v') du', 



dto, du>' désignant deux éléments d'aire correspondants et F {u, p), <K«, v) 

 deux fonctions données. 



analyse mathématique. — Intégration de V "équation A 2 « = ke" sur une 

 sur/ace fermée. Note de M. Léon Lichtenstein, présentée par M. Emile 

 Picard. 



Soit T une surface fermée régulièrement analytique quelconque dont les 

 points sont supposés rapportés à un système de paramètres isotliermiques 

 (p, q). Soient ds le différentiel d'arc, A, u elA.,u les paramètres de Beltrami; 

 k une fonction positive, continue avec ses dérivées premières. On a 



(i) ds i —p(dp i +dq î ), A,m = - 



(Jii , 2 / du V- 

 \àp) \^<7/ 



\ t d- u d- u 

 p \()p- Oq* 



Dans ses célèbres travaux sur la méthode des approximations successives 

 (Journ. de Math., 1890, 1893, 1898; Crel/e, 190.1), M. Picard a démontré 

 l'existence d'une solution u(p, q) de l'équation 



(2) A,u = /;e", 



continue sur T sauf en un nombre fini des points (p h </,)(?' = 1 . ...,m) où elle 

 admet des singularités logarithmiques 



I . . . m 



(3) «,log, v , rf={p—p t y+(q — ç t )\ «,>-2, 2 a ' <0 (,) - 



(') A la vérité M. Picard, s'inspirant d'un problème posé par M. II. -A. Schwarz, a 

 considéré une surface de Riemann ordinaire sous des conditions un peu différentes. 

 Sa méthode s'étend d'ailleurs immédiatement au cas du texte. 



