SÉANCE DU 29 DÉCEMBRE Îgi3. 1Ô09 



Une autre démonstration est due à Poincaré (Journal de Mathématiques, 

 1898). Le grand géomètre introduit, en outre, des points singuliers 

 (p' n q' i ) (* = 1, 2, ..., ni) au voisinage desquels u(p, q) se comporte 

 comme - 2\ogr' e — 2log|logr,|, r'f = (p -p'.y + (q - q'.y. 



L'application des principes exposés dans une Note récente (Comptes rendus, 

 t. 157, p. 629) m'a conduit à une démonstration nouvelle du théorème de 

 M. Picard, valable dans le cas général de Poincaré, aucpiel cas l'inégalité 

 £a ( <j> doit être remplacée par Sa, — 2m'<o. Je me permets de l'exposer 

 ici dans ses traits essentiels. 



Soit (3 une fonction positive, continue avec ses dérivées premières, sauf 

 aux points (/),-, q { ) (1 = 1, .. ., m), (/>,, q' : ) (i= 1 ,..., m') dans le voisinage 

 desquels elle est égale à 



(4) r% 3 /-/- î (i°g'-;-) \ 



et telle que 



(5) r/|3rf&> = 27r(— 2a t +2/w'), 



do> désignant l'élément d'aire. Soit v (p, q) une solution de l'équation 

 A.,v=fi continue sur T, sauf aux points ('/>,-, q,) (1 = 1, ..., m), 

 (Pn 9i) ( l = I > • ■ -i m ')i ou e ^' e se comporte comme u (p, q). La détermi- 

 nation de v ne présente pas de difficultés sérieuses. Posons 



(6) u(p,q) = v(p, q)-hU(p, q). 



Alors 



(7) A 2 U^-j3=:À-e''e Li = Ke T, . 



La fonction K. est continue sur T, sauf aux points (p h 17,), (p[- , q' t ). De 

 plus, on a 



(8) o < |jLi < —■ < f/, (/jt 1 ,fA,= const. finies). 



On retombe sur l'équation (j) en cherchant le minimum de l'intégrale 



(9) [= Ci (AjU — 2(3U-+-2Ke D )<5?&). 



On voit facilement que 



(10) min.(2Ke u — 2J3U) = 2|3(t — logg- J > 2(3(i — log/ju). 



C. R., 191 S, 2- Semestre. (T. 157, N' 26.) x 9" 



