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Donc, I est bornée inférieurement. Soit d la limite inférieure de l'inté- 

 grale I pour toutes les fonctions continues avec leurs dérivées des deux 

 premiers ordres sur T et Z„(/;, y) (n = i,a, . ..) une suite minimisante. La 

 détermination effectue, même explicite de d et de Z„ (p, q) (n = 1,2,...) ne 

 présente aucune difficulté. On peut utiliser, par exemple, un procédé connu 

 de Ritz. Ce qui est essentiel pour notre méthode c'est qu'on peut supposer 



(11) \Z„(p,g)\<K, H = |logf*,|+|logj* t |. 



Soit 

 (.2) F(Z)=e*-|z. 



On 



a 



, „ dF „ , S dF _ , (3 



(■3) ^>o, Z>log te , ^<o, Z<logL; 



donc, certainement, 



(i4) ^>o. Z>1I, ^J<o, Z<-H, kr< — 3Z>k e »-SH, |Z|>H. 



Dans tous les cas où L n (p, q )^> H, ou peut diminuer 1 en remplaçant 



Z »(/ , '9)P aiH - 



Soit <fi(p, q) (1 = 1,2,...) le système orthogonal, norme des fonctions 



fondamentales continues sur T et vérifiant l'équation A 2 « + Xw = o. 



Posons 



i...» 

 7 



7 -^!L(i>i(/j, (/) (t = l'aire tolale de T). 



lim / nA,Z„+2Ke z «- aSZ,,]^)^^; 



n = «o */ t/f 



donc, d'après (1 1) et (i5), 



I...» 

 ('7) 2]-/«< rf o- (« = 1, 2, ...)-, |s,„|<v/^o («', «= i,2,...) (rf = const. finie). 



i 



On a de plus 



(-8) ''■• |= ;j= ff z * da> < H ft («=i,2, ...). 



