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on a alors 



o-^'_ A«— £i. 



6 -r 



Les formules de transformation pour.r,, a? 2 , a? 3 , x, lt x- a sont linéaires et 

 homogènes. 



Cette transformation donne lieu à l'identité 



\,X 5 -t- X 2 X 4 + X 3 := oc x x^-+- x i x i + x\. 

 Donc aussi 



Xi X 50 -t- X )0 X S -f- X 2 X 40 -+- X 20 X 4 -t- 2X3X31) 



= x x x so ■+■ x l0 ar s -+- x 2 x i0 -4- ,î? 20 x i + 2 x 3 x 30 , 



en appelant d'une façon générale m i0 le conjugué de /»,. De là se conclut 

 aisément que les six domaines ou variétés suivants sont invariants par nos 

 transformations : 



1. Çg'_3e'>o, Ç+ÇÎ'>o; 



3. ÇÇ'_3e*<o; 



5. ÇÇ'-œ'X,, Ç +£'<(>; 



Un point d'un de ces domaines peut être transformé en un autre point quel- 

 conque du même domaine. 



En cherchant à trouver une transformée S' -1 SS' aussi simple que 

 possible d'une transformation S donnée, on parvient, suivant la nature 

 des racines d'une certaine équation réciproque du quatrième degré, à 

 trente formes canoniques distinctes, donnant naissance à vingt-deux sortes 

 de groupes cycliques. Cette étude permet, en particulier, d'avoir des rensei- 

 gnements sur les points doubles, leur nombre, leur place dans les six 

 domaines invariants. 



Les variétés à cinq dimensions invariantes par les substitutions de point 

 double g = g = i, h = o, et dont l'équation s'obtient en égalant à zéro une 

 forme quadratique à indéterminées conjuguées en .r,, x 2 , ar 3 , a\, /., 

 sont les suivantes : 



( c. -t- 2(3 -+-y)(x i x 10 -hjc* .r 20 -+-.r 4 x 4o -l- x s ^'so) 

 -+■ (•- cf. + 2(3 — 7)(.î-|.»5o-t--*'io- :r s -+■ ■'■■>x il , -f-.ï. 20 x 4 ) -H SP-zv/-;.,, 

 -+- i{— a + y) ( — .r, .r 20 + x^x* -(- j-, x i0 — .r 10 a\ — x 2 x 50 -h x 10 x t -hx,,,x M — x i0 ,r 5 ) = 0, 



a, [3, y étant des paramètres variables. De cette famille, nous en extrayons 

 une autre ne contenant plus qu'un paramètre non homogène en posant 



« + 2 (3 + y — a + y - 

 1 ~ l *' 



— «e + ap— y = f*, 



