SÉANCE DU 29 DÉCEMBRE IO,l3. l5l3 



X et u, étant les nouveaux paramètres homogènes ; A et / sont des nombres 

 réels arbitraires. Ceci permet d'étendre à nos transfoi mations la méthode 

 du rayonnement pour la formation du polygone fondamental d'un groupe 

 fuclisien discontinu. 



On peut démontrer, à l'aide de ces variétés et del'intégrale 



ffffff 



dÇ u dÇ dX d3t dÇ' dÇ' 



~t$q'-x*y ~' 



invariante par le groupe, cjue les transformés par un groupe discontinu 

 d'un point du domaine gç'— 3e 2 >o, (|'-M/>o, n'ont pas de point d'accu- 

 mulation dans ce domaine. Ceci n'arrive pas pour (,'(,'' — 3C 2 <o. 



Considérons en particulier le groupe arithmétique, c'est-à-dire le groupe 

 des transformations à coefficients a h b h c h d t entiers; les coefficients de la 

 transformation subie par x { , ,r 2 , x 3 , x k , œ, sont alors aussi entiers et réci- 

 proquement. On peut trouver le polyèdre fondamental, mais ici il semble 

 plus simple d'en avoir un autre que celui que donnerait la méthode du 

 rayonnement; celle-ci est pourtant utile dans la recherche; les iné- 

 galités suivantes définissent ce polyèdre pour le domaine ççf — 3C 2 >o, 

 Ç + Çf' > o 



|f.'°l<^> ISil<£' I *.!<£• ° <a3C <(,'<(,-. 



|«i — <*tg + 2<xji-+- oi i g'-+-<x s (gg'—h i )\*>i, 



a,, a 2 , a 3 , a.,, a 5 désignant tous les systèmes de nombres entiers premiers 

 entre eux satisfaisant aux deux conditions 



«1 «5 -H «2 «; -t-otj =0, («,— a 5 ) 2 4- («,— a 4 )' 2 =c.; + a| -H 2«| -+- aj -H «| <] 

 Les substitutions fondamentales se trouvent directement; ce sont : 



/• 



O O I o 1 [000 — I \ / 1 o o o 



1000/ joio o I joioo 



}' \ (' { 



oooil jooi o looio 



0010! (100 o) \ I O O I 



Des fonctions invariantes par un groupe discontinu peuvent être for- 

 mées facilement en remarquant que la transformation 



a: =: 



y g'+i' Z g + g'+'ih + î' 



