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ramène le domaine %' — 3e 2 >o, ()'4-t,''>o entièrement à distance 

 finie. Ces fonctions n'ont pas de singularité essentielle dans ce domaine, 

 mais en ont dans le domaine ÇÇ' — 3t 2 < o, où elles peuvent même ne pas 

 exister. L'existence dans le groupe de certaines substitutions entraine que 

 ces fonctions soient, pour certains points de ÇÇ' — 0£ ! s= o, fonctions 

 analytiques de certaines variables ne dépendant que du groupe considéré. 

 On obtient des groupes discontinus analogues au groupe arithmétique en 

 considérant les transformations en elles-mêmes à coefficients entiers de 

 formes quadratiques à cinq variables du type u\ ■+- u\ ■+■ u% — u\ — u\, 

 u { , i/n, «,, u iy u ri étant des formes linéaires réelles distinctes. 



GÉOMÉTRIE. — Sur les invariants des variétés algébriques à trois dimensions. 

 Note de M. Alfred Rosenblatt, présentée par M. Emile Picard. 



Considérons une variété algébrique à trois dimensions V 3 et supposons 

 son genre géométrique au moins égal à 3. Supposons de plus les surfaces 

 canoniques irréductibles, sans parties fixes et se coupant trois à trois en des 

 points variables, ce qui exclut qu'elles puissent être composées par les sur- 

 faces d'un faisceau ou formées chacune par ao 1 courbes d'une congruence. 

 Les inégalités que j'avais établies entre les genres p h ,,p a ,p (') d'une surface 

 algébrique qui n'appartient pas à des classes spéciales qu'on étudie sépa- 

 rément, vont nous permettre de déduire des inégalités importantes entre 

 les invariants de notre variété. 



Soient P„, P„ les genres géométrique et arithmétique de V s , p„, p„, 

 les genres géométriques et arithmétiques virtuels d'une surface cano- 

 nique F de V 3 , donc p g — p a = d l'irrégularité superficielle de V 3 . 

 Soient ensuite A , A, le degré et le genre virtuels d'une courbe caractéris- 

 tique C du système canonique linéaire |F| de V,, et />" ,p~ les genre et 



(') Voir mes Notes des Comptes rendus du 3 juin 1912, du 6 janvier 191.3 et du 

 27 janvier 1913. J'ai exposé mes recherches dans les Rendiconti del Circolo Matema- 

 tico di Pa/ermo, t. XXXV, 1 9 1 3 : dans un travail inséré dans les Prace malema- 

 tycznofizyczne, t. XXVI, 1 g 1 3, Sur les surfaces algébriques qui possèdent un 

 faisceau irrationnel de courbes hyper elliptiques de genre deux, ainsi que dans un 

 Mémoire : Sur certaines classes de surfaces algébriques ir régulières et sur les trans- 

 formations birationnelles de ces surfaces deux en elles-mêmes, dans le bulletin de 

 l'Académie de Cracovie, juillet 1912. Je remarque que certaines recherches de ce 

 Mémoire sont développées plus en détail dans les Rozprawy (Mémoires) de cette 

 Académie, t. LU, série A, 1913 (en polonais). 



