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L'inégalité (5 ) nous donne a fortiori 



(■3) P„<2/;„-h6. 



(A) -P.SjU.H-Z, ]'„ -£-', 



©4 2 



( l5 > J^-P^^+5. 



Remarquons qu'on peut préciser de beaucoup ces formules, si l'on étudie 

 de plus près la série linéaire caractéristique des courbes C. 



M. Comessati a dernièrement employé la méthode de M. Castelnuovo 

 pour trouver des intéressantes conditions d'existence de faisceaux irration- 

 nels de surfaces et de congruences irrégulières de courbes sur les V 3 . On peut 

 préciser de beaucoup ses résultats, comme je l'ai fait pour ceux de 

 M. Castelnuovo, et, d'autre part, les formules établies plus haut conduisent 

 à des résultats très intéressants concernant ces variétés, que je me propose 

 de publier dans un autre travail. 



MÉCANIQUE ANALYTIQUE. — Sur les intégrales communes à plusieurs 

 problèmes de Mécanique. Note de M. Jules Ouvrit, présentée 

 par M. Appel 1. 



I. En cherchant à appliquer ma théorie de la rationalité {intégration 

 logique) aux. équations différentielles de la Mécanique, j'ai été conduit 

 à reprendre une question qui a été l'objet d'un Mémoire de Joseph 

 Bertrand {Journal de Liouville, i852) : Si l'on se borne à l'étude du mouve- 

 ment d'un point, dans le cas où les projections de la force ne dépendent que 

 des coordonnées, l'illustre géomètre observe qu'une intégrale première 



(i) x = c.(a-,y, z, x',f, z' , l), 



de séquations du mouvement 



(a) x"=X, y"=Y, z"=Z, 



détermine en général X, Y, Z; il y a exception pour certaines catégories 

 d'intégrales (l'intégrale des aires par exemple) qui ne conduisent qu'à une 

 ou deux relations entre X, Y, Z et qu'il y aurait grand intérêt à connaître. 

 Joseph Bertrand en a signalé quelques-unes des plus remarquables ('); 



(') Elles sont affectées de la lettre B dans les formules qui suivent. 





