SÉANCE DU 29 DÉCEMBRE U)l3. I 5 1 7 



j'ai réussi à les obtenir toutes : leur détermination est l'objet d'un travail 

 étendu qui sera publié ailleurs, et dont je communique ici les résultats 

 principaux. 



M. Appell ( ' ) a montré qu'un système tel que (2) garde sa forme quand 

 on exécute sur a-, y, z une transformation projective 



ABC 

 X = W ^ = D' S ~D' 



où A, B, C, D sont linéaires en x, y, z, à condition de prendre pour nouveau 

 temps : dt, = dtD 2 ; une transformation de M. Appell changera donc une 

 de nos intégrales en une autre qui n'en sera pas essentiellement distincte. 

 On peut aussi multiplier le temps par une constante. 



a. Dans le plan (jc, y) on a les deux classes 



(B) a = t x y_ yx < ) * + ^(l_ 



(B) a = — t -h xy' — yx\ 



elles se déduisent par la transformation de M. Appell de l'intégrale du système : 



x' = X(x), y"=Y(x, /), 



qui ne dépend que de x, x' , ou de x' et t pour X constant. 



b. Sur une surface (c'est-à-dire pour un mouvement quelconque à deux paramètres) 

 si nous écrivons les équations de Lagrange 



dt\du'J du" v,n 



on a seulement les cas suivants : 



1» 2T = «' î +Ui'' ! (surface applicable sur une surface de révolution) avec 



(B) oe = UV-H-F( ( >), 



ou bien 



:— t + kVv'; 



u ' 

 2° 2T = f'H rr, a constant, \ fonction de c seul, avec 



a(a« + V) 



ou bien 



ou bien encore 



« = — / 4- arc tang 



au' 



2 ( au -+- V ) 



1 , au' -+- i(au -t- V) 



«=—<■+-- 10g ; ; ~r ■ 



a au — 2 ( au -+- V ) 



(') Comptes rendus, t. 108, p. 224, et American Journal, t. XII, 1890. 



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