I Ô I 8 ACADÉMIE DES SCIENCES. • 



Le rôle joué dans les expressions précédentes par —— ; conduit aisément à des soln- 



lions étendues pour le problème correspondant à 3 paramètres, oii l'on peut toujours 

 supposer 



2 T= A.tt' 2 + Bf>' ! +Cw' ! . 



c. Pour l'espace [x, y, z), les intégrales a qui donnent une seule relation entre x, 

 y, z sont 



(B) y.:-xy' — yx'^-kz'. 



a. — — l -+- a ( xy' — yx' ) -+- bz' , 



et celles qui se déduisent des cas correspondants à une et deux variables par la trans- 

 formation de M. Appel); les intégrales qui entraînent deux relations s'obtiennent en 

 remplaçant dans une intégrale 



a = tx( /. ni. /' , ni', /), 

 des équations 



t"=L(l,m), m"=:\\(/,»i), 



x y 



l par — > m par — j /' par x z' — zx' , ni' par y;' — z y' et / par tz' 1 , c'est-à-dire en exé 



cutant une transformation projective particulière. En dehors de ces cas généraux, 

 on a, pour les intégrales indépendantes de /, 



y. = ®,(x', /, xy' — yx' )+/(*, y), 

 * = *,(*/ -y*, s')+/(|i 



où <t>., est une fonction du second degré et f une fonction arbitraire, et, pour les 

 autres, 



cf. = — t -f- a x' -h by 1 ' + cz' ' -h k arc tang(A a;' -h B j' + Gz'), 



où a = I -1- qz — ry, . . .,ç, Y), Ç, />. q, r désignant des constantes; /, est une constante 

 et A, B, G sont des fonctions de x. y, z telles que 



dk dx -+- dR dy -t- r/C ds 

 (kdx + Bdy + Gdzy ~ " ( ■''' y ' Z '~ 



Le cas où kdv + Bdy -+- Gds est de la forme dv — w du exige que A, B, C aient des 

 expressions analogues à a, b, c et ne convient pas. Si kd.v -\- Bdy -hGdz = du, on 

 peut prendre « = cp (./•); enfin, si A dx + Bdy -+- Cdz = w du, on pourra supposer 

 G = o, A, B dépendant de x, y seuls et donnés par 



i duy i û<,t 



~Â~dy-' ~B~ÔJ' 

 avec 



y-hxf((,>)-h g-( M ) = o. 



Enfin, dans l'expression précédente, l'arc tangente peut être, comme plus liant, 

 remplacé par un logarithme. 



1 1 . Dans le domaine de la Mécanique, on peut étendre ces résultats en sup- 



