SÉANCE DU 6 JUILLET 1914. 21 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les séries de fonctions et les singularités des 

 équations différentielles. Note de M. Georges-J. Réhoundos, présentée 

 par M. Emile Picard. 



1. On sait que, parmi les formes singulières des équations différentielles 

 du premier ordre, il y en a une qui présente un caractère très intéressant : 

 je veux parler de la forme 



(0 •^'-£ = >-v + /(.r,7) (Ij^o), 



où/(x,y) désigne une fonction holomorphe des x el y dans le voisinage 

 des a; =: o et jk = o et s'annulant pour x ^ o ely = o; nous supposons, 

 bien entendu, que /(a?, y) ne contient pas de terme de la forme Xy. 

 L'équation (i) permet de déterminer une série unique de Maclaurin satis- 

 faisant formellement à l'équation ('); mais, dans les exemples les plus 

 simples, ce développement est en général divergent. 



Si donc nous considérons A comme paramètre variable, les coefficients 

 de/(x,y) étant donnés et fixes, et si nous désignons par (L) l'ensemble 

 des valeurs de A pour lesquelles l'équation (i) admette une intégrale holo- 

 morphe et nulle en .r = o, il y a lieu d'étudier cet ensemble (L). 



Dans leurs mémorables Recherches sur les propriétés des fonctions définies 

 par des équations di//é?entielles (Journal de l'École Polytechnique, 

 Cahier XXXYI, i856), Briot et Bouquet ont examiné l'équation (i) dans 

 le cas très particulier oùf(x, y) ne contient pas du tout la variable y et 

 ils ont démontré que, dans ce cas, l'ensemble (L) coïncide avec l'ensemble 

 des zéros d'une fonction entière. 



Dans un travail antérieur (-), nous avons démontré que l'ensemble (L) 

 ne contient aucune valeur réelle et positive dans le cas où tous les coeffi- 

 cients de /(a--,v) sont réels et négatifs. Tout récemment, j'ai voulu pour- 

 suivre ces recherches pour étudier l'ensemble (L) dans le cas le plus 

 général ; j'ai obtenu le théorème suivant : 



( ' ) Et répondant aux conditions initiales (x^o, y = o). 



(-) Contribution à la tliéorie des singularités des équations différentielles du 

 premier ordre (Bull, de la Soc. math, de France, t. XXXVI, 1908). 



