22 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



Théorèmf.. — Si /tous posons 



/(^'■, y) = -'-A (.c) -1- .cA, {.T)r -+- A., (.r) r- H- A3 (.r )j'-H hA„ (x)/" . . . , 



l'ensemble (L) e^/ dé/iombrab/e clans trois cas très généniux, les simants : 



a'. Lorsque les fondions -—, A„{ x) [où /« î;! 2] sont aussi holomorphes dans 

 le voisinage de .r == o ; 



P'. Lorsque /es fonctions A{ .r) et A.2{x) s^ annulent pour x = o; 

 y'. Lorsque nous avons A(o) = o e< A'( o) = o. 



2. Pour établir ce ihéorème, j'ai dû faire d'abord des recherches sur la 

 convergence de quelques suites de fonctions multiformes qui m'ont conduit 

 aux théorèmes suivants, intéressants en eux-mêmes : 



Théorème II. — Envisageons la série 



(2) ir',{--)|. |v''P.{-)|. Iv/Tv^l. •••- l"vP«(--)l> ■•■• 



où P„(^) "= A„(3 — a„,)(s — a„o) ... {z — r/„„) est un polynôme du degré n. 

 Si la quantité \ y/A,,] ne tend pas vers zéro, lorsque l'indice n croit indéfini- 

 ment, les points du plan z, pour lesquels la série (2) converge vers zéro, ne sau- 

 raient Jamais former un ensemble ayant la puissance du continu ; c'est-à-dire : 

 ces points ou bien sont en nombre f ni, ou bien forment un ensemble infini (XL) 

 dénombrable. De plus, il est impossible que la série (2) converge uniformément 

 vers zéro en une infinité de points du plan z. 



Tm:oRï:ME III. — Envisageons la série 



(3) i/.(j)i, Iv'y^l- Iv/yû^!. •-., IvT^T^I- •••. 



oùffz) = o,fz)P„(z) est le produit d\in polynôme P„(3) de degré n par 

 une fonction y» (s) absolument quelconque. 

 S'il existe un nombre t, tel que r inégalité 



(4) IV'9U^)!>'- 



soit satisfaite pour une infinité de valeurs de n et pour une infinité (E) de 

 points du plan z, il est impossible que la série (3) converge uniformément vers 

 zéro pour tous les points de l'ensemble (E). De plus, il est impossible que la 

 série (3) converge vers zéro pour les points d'un ensemble (C) continu dans le 

 cas oii il existe un nombre positif i, tel que l'inégalité (4) soit satisfaite pour 

 tous les points de r ensemble (G) et pour une infinité de valeurs de n. 



