SÉANCE DU 6 JUILLET I914. 45 



tisme singulier (') des points sligmatiques de l'axe qui se trouvent sur le 

 rayon incident et sur le rayon réfléchi; dès lors, les angles u, u' , avec l'axe, 

 doivent présenter la relation 



a u 



laiig— ; lang— ;=r const. 

 2 2 



Or, p et p' étant les rayons vecteurs du point I, on a 



P' 



sin{«' — u) sin(/' sin u sin« + sin(/' 

 d'où, par une transposition facile. 



Il u , , , 



lang — : lang— =- (a -h c) : (n — c) 



d'ailleurs, les points singuliers de cette espèce admettent évidemment une 

 infinité de couples de surfaces quasi-aplanétiques corrélatives, et la consi- 

 dération des termes d'un degré plus élevé dans les équations fondamentales 

 permet d'établir la relation caractéristique 



dp ; np- sin^ u := dp' ; n' p'- siii' (/', 



p, p' étant ici les rayons vecteurs des surfaces corrélatives. 



Dans le cas particulier d'une seule réflexion ou réfraction, deux surfaces 

 corrélatives conjuguées sont confondues avec la surface de séparation, 

 psiuM = p'sinw' et n' dp = /?r/p'; si l'on rapproche celte condition de celle 

 de Fermât, ndp ^ n' <lp\ on voit que : 



1° Si n- est différent de n'-, il n'y a d'autre solution que dp = o, dp' := o; 

 la surface est normale à la fois aux deux rayons, les deux foyers stigma- 

 tiques sont confondus; c'est le cas du dioptre et du miroir sphériques, 

 au centre. 



2° Si « = — n' (cas de la réflexion), pH-p' = const. donne le miroir 

 elliptique. 



3" Si w = n' , réfraction sans déviation, on a évidemment p = p'. Avec un 

 changement de signe de p' on aurait : 



4° Pour « = — «', p — p'= const., miroir hyperbolique, et p — p'= o 

 miroir-plan stigmatique singulier pour tous les points de l'espace; le miroir 

 parabolique étant un cas limite de 2" et 4", on a ainsi tous les casdestigma- 

 tisme singulier de cette espèce pour une seule déviation. 



{') Comptes rendus, 10 novembre igiS, p. 846. 



