232 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



coefficients partout holomorphes, les coefficients des dérivées d'ordre le 

 plus élevé figurant dans l'équation étant des constantes. 



J'écrirai les équations du type considéré sous la forme condensée 



(1) ^„u-i-^î>{u) = o, 



n étant l'ordre de l'équation, A„u désignant la partie qui ne renferme que 

 les dérivées d'ordre n et dont les coefficients sont constants, 0(w) la partie 

 renfermant les autres termes, dont les coefficients sont des fonctions 

 entières de x el y. 



11 résulte d'un Mémoire de M. Délassas, publié dans les Annales de 

 P École Normale supérieure, en iSgS, que ces équations admettent toujours 

 une infinité d'intégrales, fonctions entières de x et dey, comme les équa- 

 tions différentielles ordinaires du même type. 



Toutefois ici, ce ne sont plus les seules intégrales de l'équation, et 

 MM. Delassus et Le Roux ont montré, l'un pour les équations du domaine 

 réel, l'autre pour le cas des variables complexes, quelles sont les multipli- 

 cités singulières possibles pour les intégrales de (I) ( ' ). 



2. Voici les résultats auxquels je suis arrivé, relatifs aux équations (I) : 



Théorème I. — S/ l'on se donne sur une caracl. C;t^o d'ordre p les 

 valeurs de Vinlègrale ^(x, y) de (I) et celles de ses n — p -- i premières 

 dérivées extérieures à C/, = o, par des fonctions entières d'une variable, et sur 

 une autre droite imaginaire de Pespace à quatre dimensions, différente des 

 caracl. Cyi-=const., les valeurs qielconques analytiques de U(.r, j') el de 

 ses p — i premières dérivées extérieures à cette droite, P intégrale \}{x,y) 

 ainsi parfaitement déterminée a les mêmes singularités que Vintégrale 

 U(,(a", y) de A„u = o, déterminé avec les mêmes valeurs initiales. 



Je démontre cette proposition au moyen des approximations successives 

 de M. Picard, et en faisant le prolongement de la solution le long de C/i^=o, 

 d'abord, et ensuite dans l'espace à (jualre dimensions. 



3. Dans le cas particulier où il n'y aurait que deux familles caractéris- 

 liijues distinctes, le théorème est vrai quelles que soient les données ana- 

 lytiques en nombre </ sur la caractéristique d'ordre /• et en nombre /• sur la 

 caractéristique d'ordre q. (On a q -h r ^= n.) 



Cela tient à ce qu'on peut toujours, pour une équation linéaire, décom- 



(') Delassis el l.E HoL'x, Annales de iEcole Normale supérieure, iSgS, et 

 LeRol'x, Journal de M. Jordan, 1898. 



