SÉANCE DU 20 JUILLET I9l4- 233 



poser les données en sommes d'autres données, que la somme des inté- 

 grales ainsi obtenues est l'intégrale correspondante aux premières données, 

 et à ce que, dans ce cas particulier, y + r = «, et les deux caractéristiques 

 jouent exactement le même r<Me. 



4. Du théorème général précédent, je déduis l'existence et la forme 

 analytique d'une classe très générale d'intégrales de (I). 



J'appelle fonction quasi uniforme d'une variable toute fonction analy- 

 tique représentable par une série 



/ X «I = + 00 



2 Tg, {a:) log {X - ai) + P, {x) + ^ ^"' ^'^ " "' )'"] ' 



I := m = — « 



où P,- {x) désigne un polynôme en a;, G,- (x) une fonction entière de x et 

 A„, une constante : à cause de l'analogie de cette série avec celle que M. Mit- 

 tag-Lefller a donné pour le développement des fonctions uniformes d'une 

 variable à points singuliers isolés. 



Je puis alors énoncer le théorème suivant : 



Tni.ouKME II. — Toute intégrale l](jj,y) de (l) déterminée avec n — p 

 données entières sur une caractéristique d'ordre p (les données que f ai indi- 

 quées plus haut) et p données sur une droite quelconque ne faisant. pas partie 

 de cette famille caractéristique, ces dernières étant des fonctions quasi uni- 

 formes d'une variable^ est une fonction quasi uniforme de deux variables, 

 c'est-à-dire est représentable dans tout l'espace à quatre dimensions par 



2 [g, (,^, y) log {c^x+ Pj - ai) + P,(.r, y) 



1 = 



tu ^ -t- ae 



•2 A„,(7)(3!x + j3j--«,)'"j, 



;n ^ — 00 



où ao; + pj =: const. représente la famille caractéristique considérée, 

 Gi(x,y) une fonction entière de x et y, Vi(x,y) un polynôme de x et y 

 et A,„(y) une fonction entière de j'. 



Il est donc établi que toute équation du type (I) admet une classe étendue 

 d'intégrales qui peuvent être représentées dans tout leur domaine d'exis- 

 tence par une série analogue à celle de M. Mittag-Leffler pour une fonction 

 d'une variable à singularités isolées. 



C. R., 1914, 2" Semestre. (T. 159, N- 3.) 3o 



