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ACADEMIE DES SCIENCES. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la meilleure approximation de .r''\x\ par 

 des polynômes de degrés indéfiniment croissants . Note de M"'' ïii. Takna- 

 rioër, présentée par M. Emile Picard. 



1. Dans une Gommunicalion que j'ai eu l'honneur de faire à l'Académie 

 le 3 mars igiS, j'ai indiqué la façon dont on peut étendre aux fonc- 

 tionsa;-*|x'| (où 5 est un nombreentier positif j les méthodes de M. S. Bern- 

 stein pour la détermination de la meilleure approximation de |.r| sur le 

 segment ( — i, +i) par des polynômes de degrés indéfiniment crois- 

 sants ('). 



L'extension peut se faire de même pour les fonctions de la forme x''~^ \x\ 

 et l'on obtient les résultats suivants : 



Une borne inférieure pji de la meilleure approximation 



par un polynôme de degré in — i est fournie (pour des valeurs suffi- 

 samment grandes de n) par l'expression 



i = /„ 



Van 



2tF.(.,) 



2 



ki n -KO,' 



t il n g 



Cl), 1 ° 2 



ou 



O < (U,= ô,< -, 



3 .3^.1 , .^ , 



l <w,= ( h b, < ( ('=2), 



2 2 2 



les ûJ, devant être choisis de manière à obtenir une valeur aussi grande que 

 possible pour p,,, 



/-,= 



''>! 



3V 



y]f„,_(!)-|...[„,_(î^) 



( w? — wj ) ( r,)? — r,)2 ) . . . ( mJ — «;_,)( w,' — oj;^i ) . . . { w? — '-.),; 



et F,(v) est la fonction qui figure daos l'égalité 



■r'-' I X I - R, ( ^ ) ^ 2 71^^ (^'"yi. ^ F.. (.•) + «„] , 

 de lacjuelle on déduit une borne supérieure de Eo„(a'^*|.i-|). Pour la déter- 



(') Acia malhcnKtlica, t. \XXV1I. 



