SÉANCE DU 27 JUILLET I9l4- 297 



deux des équations irréductibles (T) dues aux méthodes de M. Painlevé; 

 aujourd'hui, j'établirai une conclusion analogue pour une autre de ces 

 équations irréductibles. Auparavant, je rappellerai quelques-uns des résul- 

 tats contenus dans ces Notes. 



l. Considérons une équation linéaire du second ordre (E), possédant 

 q points singuliers e,; faisons tendre les uns vers les autres deux ou plu- 

 sieurs points e,. On peut opérer de telle sorte que (E) tende vers une 

 équation possédant r(<[ q) points singuliers irréguliers ('). On peut ainsi 

 établir une classification naturelle et féconde des points singuliers irré- 

 guliers des équations linéaires : un point irrégulier sera dit d ordre v s'il 

 provient de la fusion de v points réguliers. 



Ceci posé, considérons une équation (E) possédant quatre points singu- 

 liers d'ordre i (dont le rapport anharmonique soit <), et un point appa- 

 remment singulier, A. Pour que le groupe de monodromie (G) de cette 

 équation soit indépendant de /, il faut que X vérifie par rapport à t une 

 équation irréductible du second ordre (Tj), celle-là même qui reproduit 

 par dégénérescence les cinq autres équations irréductibles (T) : or, ces 

 dégénérescences ont précisément pour efîet de fusionner deux ou plusieuis 

 points e,-. A chaque équation (T) correspond ainsi une équation linéaire 

 associée. 



Or, on obtenait deirx intégrales premières de (T^) en écrivant que les 

 paramètres du groupe (G) de l'équation associée (E) sont indépendants 

 de /; il s'agissait donc de rech'^rcher si, dans chaque dégénérescence, on 

 pourrait trouver les limites de ces paramètres et les exprimer au moyen des 

 coefficients de l'équation linéaire dégénérée (irrégulière) : en écrivant que 

 ces dernières expressions sont indépendantes de /, on aurait ainsi deux 

 intégrales premières de l'équation (T) associée à l'équation dégénérée. 



Ce problème, déjà difficile, dans le cas où Ton fusionne deux points 

 réguliers (cas traité dans les Notes précédentes), se compliquait encore 

 lorsqu'on combine un point régulier et un point irrégulier (cas de la pré- 

 sente Note). De plus, un obstacle se présentait : j'ai dû abandonner les 

 développements en approximations successives qui m'avaient servi dans mes 

 Notes précédentes : ils cessaient d'être convergents à la limite. Il en était de 

 même des développements donnés par M. Emile Picard (-) et qu'on aurait 



{') Cf. l'équalion jk"^ (i — s) (i -t- £ j:)^'^ )• et sa limite y" ^y, comparer aussi les 



intégrales correspondantes >'= (i -t- £.r) ' et y = e*-^. 

 (') Traité d' Analyse, 1" édition, t. III, p. !\\!\. 



