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pu substituer aux développements que j'ai employés précédemment. Je me 

 bornerai donc à énoncer le résultat final que j'ai obtenu, renvoyant pour la 

 démonstration à un Mémoire ultérieur. 



2. Considérons l'équation irréductible, du type (T) : 



Cette équation, découverte par M. Gambier, au moyen des méthodes de 

 M. Painlevé, possède les deux intégrales premières 



Ç[Ct.)2 + ( A — D)oi., — B] -t- Al + Cù)2^ consi., 



r ^, , -, Co), w., + A W| — Doj, — B 



[1 — ; co,— (.j.)J - f- ^-n- =const., 



dans lesquelles les lettres ont la signification suivante : soit 



^ •' \2 I ■' |_j;- !i{x — /,)- X x{x — 1-.) y 



l'équation linéaire associée à (IV) ( '). Appelons (Y,, Yj) un système fonda- 

 mental de (E|v) tel qu'on ait en a;„ (arbitraire) : Y, (a:-„) = i =\|,(a"„); 

 Y', (a?oj = o = Y2(a;o); A, B, C, D sont les coefficients de la substitution 

 subie par (Y,, Y 2) quand on tourne autour de a; = o; de plus, w, et Wj sont 

 les valeurs respectives en x^ de deux intégrales 0(0") et O(a-) de (Eu); on a 

 pour définir (p(.'r) les formules suivantes : 



^ + '-- ('*' 

 ^};(x)=e* I «"'"'e""' cost/(.r -h 2/) «/(/, 



/•■•■ -^-,x /-' -i!-r.r 



cp„+, (a-) =tj; / e ' cp, /(p„ r/,r — 9, / e ' i|>/cp„ c/^. 



L'intégrale 6(a;) se définit également par approximations successives; 

 quand x tend vers 4- ao, elle est asymptote à a? -*. l'^nfin, ^ représente la 

 valeur en x^ du quotient de deux intégrales remarquables de (E,v); ii a pour 

 expression 



(') J'appellerai yi^j:) le coefficient de j)'. 



