SÉANCE DU 27 JUILLET IQlA- ^-99 



4^ étant un chemin issu de x„ et convergeant vers rinfini parallèlement à 

 l'axe imaginaire. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur le dévelo[)pement d' une fonction holomorplie 

 en série d'inverses de polynômes et en série de fractions rationnelles. Note 

 de M. (^ESAR Spinea.n'u, présentée par M. P. Appell. 



\° Inspiré par les recherches de M. Appell et de M. Montel sur le déve- 

 loppement d'une fonction holomorphe en série de polynômes et d'inverses 

 de polynômes, nous avons d'abord étudié le cas d'une fonction régulière 

 dans le domaine D, extérieur à une courbe simple C. 



La fonction /"(j?) est développablc dans le domaine D, en une série de la 

 forme 



*, C\ C't Cfi 



Nous avons démontré par la méthode de M. Hilbert (voir Montel, 

 'Leçons sur les séries de polynômes à une variable complexe .^ p. 45) que ce 

 contour simple peut être considéré comme la limite d'une suite de lemnis- 

 cates, qui contiennent dans leur intérieur C, et telles que le domaine inté- 

 rieur à chaque lemniscate F, contienne le domaine intérieur à r,^., et que 

 les lemniscates F, et F,-^., n'aientaucun point commun. Nousavons démontré 

 ensuite la possibilité de représenter, par la somme d'une série d'inverses de 

 polynômes, une fonction holomorphe dans le domaine fermé A, extérieur 

 à F. 



Soit mod|P(3)| = const. l'équation de F. Pour x situé dans le do- 

 maine A,, intérieur à A, nous avons trouvé 



/(-)="ï% 



Q" , Q. , , Q"- 



^d xP F(./:) xP(a,-) cr«-'P(a-) 



P = » 



OU 



[P(.i-)]= a:[P{jc)y a;'-[V{x)y ' ■■■ ' ^/'[F(^)]''->-' ' ■•"' 



P ( ; ) =: c» + n, ;«-• -)- (7, ;"-5 + . . . -H a„_, z + a„. 

 Cette série, dont les dénominateurs sont des polynômes graduellement 



