3oO ACADÉMIE DES SCIENCES. 



croissants en a- el qui est correspondante à la série de M. Hilbert trans- 

 formée, est uniformément convergente dans A,, et A, est aussi voisin de A 

 qu'on le veut. 



Soit maintenant C une courbe simple, à l'extérieur de laquelle f{x) est 

 holomorplie; on ne suppose rien sur la manière dont /(a;) se comporte 

 sur C. 



Soient r,, F;,, ..., F,, ..., les lemniscates considérées précédemment et 

 avant pour limite C. Dans A„, domaine extérieur à F„, f{x) est représen- 

 table par une série uniformément convergente d'inverses de polynômes. 

 On peut prendre assez de termes dans cette série pour que leur somme 



R„(a;) diffère de /(r) de moins de - en module 



|/(.r)-R„(,r)|<^. 



La suite R,(a;), Ro(a:), ...,Ri(a;), ... a pour limite/(.r) dans D et con- 

 verge uniformément dans D. 



2" Avec les mêmes notations, nous avons obtenu pour un point x de A, 

 le développement suivant : 



ou 





P(^)-F(x). 



(p(3, x) est un polynôme entier de degré « — i en s et a;. 



Celte série de fractions rationnelles, dont le degré en x du numérateur 

 est toujours n — i, est uniformément convergente dans A,, et A, est aussi 

 voisin de A qu'on le veut. 



On trouve aussi, dans les mêmes conditions que précédemment, une 

 suite R,, Ro, ..., R,, ..., R„(a:) ayant pour limite y" (^) dans D et la conver- 

 gence étant uniforme. 



3" Soit y(.a;) une fonction bolomorpbe dans la couronne D, comprise 

 entre deux courbes simples C et C,. Nous pouvons trouver deux suites de 

 lemniscates r< et F| ayant respectivement pour limites C et C,. Pour un 

 points situé dans la couronne A,, qui est aussi voisine qu'on veut de A, 

 couronne comprise entre F et F', nous avons 



,'=:0 ■ ;. = 1 



