3l2 ACADÉMIE DES SCIENCES, 



d'où, en divisant membre à membre, 



(1) du {col II — cotl^) — du' {coin' — colSÎ'), 



OÙ ù, ù' sont les angles avec Taxe dos tangentes menées aux courbes C, C 

 par les points A, A'. 



C^est la cundition générale du sligrnatisme. 



Cette condition ne devient illusoire que : i" pour £2 = w, il' = //', cas 

 qui correspond au stigmatisme singulier ('); -i" dans le cas il = iï = o des 

 points sligmatiques d'Herschel. 



Points sligmatiques singuliers. — Il suffit, pour retrouver la condition 

 correspondante, de poser iï = u -^ du, il' = u' 4- du'-, on retombe alors sur 



. • , , • , "' " 



du : sin (/ =: du : siD u ou lan" — = y 'anS — ' 



a ' 2 



mais les équations (i) et (2) nous permettent de distinguer les deux cas 

 singuliers (i); les points singuliers de deuxième espèce qui présentent une 

 infinité de couples de surfaces corrélatives doivent obéir à la relation 



(3) dp : n p- sin- u =: dp' ; n' p'- sin'//', 

 fournie par les termes du deuxième ordre de ces équations. 



Points sligmatiques d'Herschel. — Si l'on suppose qu'il y a sur l'axe un 

 autre point stigmatique infiniment voisin, toutes les courbes C doivent 

 passer par ces deux points et par conséquent être tangentes à l'axe; si l'on 

 suppose que le point de contact est un point ordinaire où les courbes C, C 

 admettent les rayons de courbure R, 1! , la condition de stigmatisme donne 



liiii du sin ii' : sinli r-= du' : du 



qui se transforme aisément en 



U H 



(4) /i\\ l CûS — r^ y^//' IV : cos — , 



si l'on tient compte de la condition dite d'Herscbel «jui résulte de l'équation 

 ndi = n'ds.' et s'écrit 



, . , . u' . u 



(o) sin — := y sin — • 



2 ' 2 



(') Comptes rendus, 10 ncneinbie i9rH, j). ^!\Q. 



