SÉANCE DU 3 AOUT igi/j- 363 



positives et si les conséquences, qu'il en résulte pour le cas du noyau symé- 

 trique, subsistent. 



Nous montrons d'abord que si K (.rv) est une fonction continue du type 

 positif, les traces d'indice pair sont toutes positives et elles ne s'annulent que si 

 le noyau itéré d'ordre deux est identiquement nul. 



En efYet, remarquons d'abord que le produit d'un nombre quelconque de 

 noyaux du type positif est un noyau du type positif. On a 



U,p^ / Ki.i-s)l'^ip^,{s.r)A{x)A{s)ciu'ds où N^ixy) = kix)K,,{.ry). 



On remarque que K.,^_,(an') est un noyau symétrique du type positif, 

 donc il en est de même de !\(a;r) K,/, , (-9')' P^^' ^"''■'^ U,,/,So. 



Si U./, était nul, il en résulterait que K,/Xa;.r )= o, et, d'après le théorème 

 dcHilberl-Schmidt, que ¥..^,,{xy)^^o. Mais alors K2/^,(.rx) = o, ce qui 

 n'a pas lieu que si Y^^i^xy') l'est aussi ( ' ). 



Donc, d'après un résultat de MM. Goursat et Lalesco, si K,(a-T) n'est 

 pas nul identiquement, l'équation polaire a au moins une valeur carac- 

 téristique. 



D'après un théorème de M. J. Mercer ('), on a K(a;v) =^ '^' '^>J' ' 



où A, sont les valeurs caractéristiques et 9,(-îc) les fonctions fondamentales 

 correspondantes du noyau K (./-,/), et posons 



M^=.iF,(:r), «,,=--/" W,{x)W,M')k{x)dx. 



n 



Considérons le noyau élémentaire ï(j;y) = A(ir)^^,(a)F,(r), qui 



1=1 

 dépend de n et qui tend uniformément vers ^{xy) si n grandit indéfini- 

 ment. Le noyau itéré du second ordre est 



n 



T,(a-y) = A(^)2«.A*'<(-^)*A(j). 

 D'après un théorème de Cauchy (') on peut trouver une transformation 



(') J. Marty, toc. cit. 

 C^) Pliil. Trans. fi. Soc, 1909. 



(') Exercices de Math., 4" année, Paris, 1829, p. iSg. Voir aussi: G. Kowalewski, 

 Einfiïhrung in die Detenniiianten-Tlieorie, 1909, p. 275. 



