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qu'on sait définir l'écart d'un couple quelconque d'éléments (') : 

 A tout couple d'éléments A, B, pris dans (^E), correspond un nombre 

 positif que je désignerai par (A, B) ou (B, A) et tel que : i° (A, B) ne soit 

 nul que si A et B ne sont pas distincts; 1° pour trois éléments quelconques 

 A, B, C, pris dans (E), on a toujours 



(I) (A,B)<(A,C) + (C,B). 



Soit maintenant ( (î) un ensemble extrémal pris dans (E). Un ensemble 

 abstrait extrémal est l'analogue de l'ensemble ponctuel : borné qI fermé . 

 Je suppose que ((1) n'est qu'une partie seulement de (E); il y a donc des 

 éléments de (E) qui n'appartiennent pas à (G) : soit P un de ces éléments. 



Considérons l'écart 



Q étant un élément quelconque appartenant à (G). Le nombre y] est une 

 fonction continue sur l'ensemble (G) et comme cet ensemble est, par bypo- 

 tbèse, extrémal, la fonction Tj atteint, en au moins un élément Q„, de (G), 

 sa limite inférieure. 



Dans quelles conditions cet élément (^^ est-il unique ? Voilà le problème que 

 j'avais en vue, 



2. Je ne donnerai pas la solution générale de ce problème, mais je vais 

 faire voir qu'avec deux hypothèses, assez souvent vérifiées dans les appli- 

 cations, on est assuré de l'unicité de Q„. Supposons donc que pour l'en- 

 semble (G) soient vérifiées les deux propriétés suivantes : 



1° Q, et Q, étant deux éléments quelconques, pris dans (G), et ^ étant 

 leur écart; à toute décomposition 



(où H, et ^j sont deux nombres positifs) correspond au moins un élément (V, 

 de (G), tel que 



(Q>,Q') = ?. (Q., Q') = ;s, 



de façon que, pour les trois éléments Qt, Q', Q., on ait la relulion-limite 

 d'égalité 



(Q., Q.) = (QoQ') + (Q., Q') 



que l'on comparera avec la relation d'inégalité (i). 



('} Pour loul ce qui concerne les fondemenls de la tliéorie des ensembles abstraits 

 et de la leriiiinologie, je reinoie aux remarquables travaux de M. I''récliel, devenus 

 classiques {Bendiconti cii Palermo, l. Wll et XXX). 



