SÉANCE DU 28 SEPTEMBRE IQl/l. Sap 



2° P étant un élément quelconque dans (E), l'écart 



où p reste le même et Q' change, est une fonction définie sur l'ensemble 

 formé par les éléments Q'. Nous supposons que cette fonction n'est 

 maximum en aucun élément Q'. 



Cette hypothèse suffit, d'ailleurs, à établir qu'à une décomposition (2) 

 donnée ne correspond qu'un seul élément Q'. 



Mais, si à toute décomposition (2) correspond un seul élément Q', alors 

 chaque élément Q' correspond à un nombre réel H' de l'intervalle (o, ^), 

 ici \ étant l'écart (Q,, Q.), les points extrêmes de l'intervalle o et ^ corres- 

 pondant respectivement à Q, et Q.. Grâce à cette correspondance le 

 nombre ■({ devient une fonction ordinaire de la variable ^' dans l'intervalle 



(3) o<^<\ 



et la condition 2" revient à supposer que cette fonction n'est maximum en 

 aucun point de l'intervalle (3). 



Avec les hypothèses 1° et 2" on démontre le théorème suivant : 



Si 



P appartenant à (E), ei Q, e^ Q^ appartenant à (G), on a 



(F, Q')<(P, Q,) = (P,Q2), 



Q' appartenant à (G) et vérifiant la condition 1°, 



Ce théorème, ou mieux ce lemme, suffit pour établir l'unicité de l'élé- 

 ment Qd pour lequel l'écart (P, Q) atteint son minimum (voir au n" i). 



3. Ce résultat général, unicité de Q;,, obtenu avec les hypothèses 1° 

 et 2°, comporte de nombreuses et importantes applications, d'après la 

 manière dont on particularise (E). 



J'insisterai seulement sur l'application qu'on peut faire au problème de 

 l'approximation des fonctions analytiques les unes par les autres. 



Supposons que (E) soit l'ensemble des fonctions /(s), holomorphes 

 dans une même région et (G) l'ensemble des polynômes !!(:;) d'un degré 

 donné : 



On obtient le théorème de Tchébycheff, d'après lequel, pour toute fonc- 

 tion donnée (liolomorplie dans une région et continue sur la frontière), il 

 existe un polynôme de degré donné, et un seul, donnant la meilleure 



